Discuta a posição relativa dos pares de retas.
(a) r1:lx=2-t y=3+2 t z=1+t
e r2:lx=5-2 s y=2+4 s z=1+2 s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no espaço em forma paramétrica:
r1: x=2-t, y=3+2t, z=1+t, r2: x=5-2s, y=2+4s, z=1+2s
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para discutir posição relativa de duas retas, vamos precisar dos vetores direção e de um ponto em cada reta.

Passo 2

Extraímos as direções e pontos:
  • Para r1, o vetor direção é v1=(-1,2,1) e um ponto qualquer é P=(2,3,1) (obtido em t=0).
  • Para r2, o vetor direção é v2=(-2,4,2) e um ponto qualquer é Q=(5,2,1) (obtido em s=0).

Passo 3

Verificamos se v1 e v2 são proporcionais. Note que
v2=(-2,4,2)=2cdot(-1,2,1)=2,v1,
logo os vetores são paralelos. Isso significa que as retas podem ser coincidentes ou paralelas distintas.

Passo 4

Para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas, tomamos o vetor que liga P a Q:
PQ=Q-P=(5-2,;2-3,;1-1)=(3,,-1,,0)
Se PQ fosse paralelo a v1=(-1,2,1), as retas coincidiríam. Mas não existe lambda tal que
(3,-1,0)=lambda(-1,2,1),
pois da primeira coordenada viria lambda=-3 e da segunda lambda=-tfrac12, o que contradiz. Portanto PQ não é colinear a v1.

Resposta

As retas são paralelas distintas (não coincidem nem se intersectam).

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