O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para discutir posição relativa de duas retas, vamos precisar dos vetores direção e de um ponto em cada reta.
Passo 2
Extraímos as direções e pontos:
Para r1, o vetor direção é v1=(-1,2,1) e um ponto qualquer é P=(2,3,1) (obtido em t=0).
Para r2, o vetor direção é v2=(-2,4,2) e um ponto qualquer é Q=(5,2,1) (obtido em s=0).
Passo 3
Verificamos se v1 e v2 são proporcionais. Note que
v2=(-2,4,2)=2cdot(-1,2,1)=2,v1,
logo os vetores são paralelos. Isso significa que as retas podem ser coincidentes ou paralelas distintas.
Passo 4
Para decidir entre coincidentes ou paralelas distintas, tomamos o vetor que liga P a Q:
PQ=Q-P=(5-2,;2-3,;1-1)=(3,,-1,,0)
Se PQ fosse paralelo a v1=(-1,2,1), as retas coincidiríam. Mas não existe lambda tal que
(3,-1,0)=lambda(-1,2,1),
pois da primeira coordenada viria lambda=-3 e da segunda lambda=-tfrac12, o que contradiz. Portanto PQ não é colinear a v1.
Resposta
As retas são paralelas distintas (não coincidem nem se intersectam).