1. (1,5) Considerando x e y arcos do primeiro quadrante, \operatorname{sen}(x)=\frac{1}{4} e \cos (x)=\frac{4}{5}, determine: \operatorname{sen}(x+y), \cos (x-y) e t g(2 x).

Passo 1

O enunciado diz que x e y são ângulos no primeiro quadrante com \sin(x)=\tfrac14 e \cos(y)=\tfrac45. Vamos usar identidades trigonométricas básicas: a identidade pitagórica para obter \cos(x) e \sin(y), depois as fórmulas de soma e diferença de ângulos e, por fim, a fórmula do ângulo duplo para \tan(2x).

Passo 2

Usando a identidade pitagórica \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1 e sabendo que os ângulos estão no primeiro quadrante (todas as funções são positivas), temos
\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}=\sqrt{1-\Bigl(\tfrac14\Bigr)^2} =\sqrt{1-\tfrac1{16}} =\sqrt{\tfrac{15}{16}} =\tfrac{\sqrt{15}}{4},
\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2(y)}=\sqrt{1-\Bigl(\tfrac45\Bigr)^2} =\sqrt{1-\tfrac{16}{25}} =\sqrt{\tfrac{9}{25}} =\tfrac35.

Passo 3

Para \sin(x+y) usamos
\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y).
Substituindo:
\sin(x+y) =\Bigl(\tfrac14\Bigr)\Bigl(\tfrac45\Bigr) +\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\tfrac35\Bigr) =\tfrac{1}{5}+\tfrac{3\sqrt{15}}{20} =\tfrac{4+3\sqrt{15}}{20}.

Passo 4

Para \cos(x-y) aplicamos
\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y).
Substituindo:
\cos(x-y) =\Bigl(\tfrac{\sqrt{15}}{4}\Bigr)\Bigl(\tfrac45\Bigr) +\Bigl(\tfrac14\Bigr)\Bigl(\tfrac35\Bigr) =\tfrac{\sqrt{15}}{5}+\tfrac{3}{20} =\tfrac{4\sqrt{15}+3}{20}.

Passo 5

Para \tan(2x) usamos a fórmula do ângulo duplo
\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}, \quad \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} =\frac{\tfrac14}{\tfrac{\sqrt{15}}{4}} =\frac1{\sqrt{15}}.
Então
\tan(2x) =\frac{2\bigl(1/\sqrt{15}\bigr)}{1-\bigl(1/\sqrt{15}\bigr)^2} =\frac{2/\sqrt{15}}{1-\tfrac1{15}} =\frac{2/\sqrt{15}}{\tfrac{14}{15}} =\frac{2}{\sqrt{15}}\cdot\frac{15}{14} =\frac{30}{14\sqrt{15}} =\frac{15}{7\sqrt{15}} =\frac{\sqrt{15}}{7}.

Resposta

\displaystyle \sin(x+y)=\frac{4+3\sqrt{15}}{20} \displaystyle \cos(x-y)=\frac{4\sqrt{15}+3}{20} \displaystyle \tan(2x)=\frac{\sqrt{15}}{7}

Exercícios relacionados