(\mathbf{1}, \mathbf{5}) Calcule \operatorname{sen}(x), \cos (x) e \operatorname{tg}(x), sabendo que:
\operatorname{sec} ^{2}(x)+t a(x)=7, com x \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para determinar \sin(x), \cos(x) e \tan(x) sabendo que
\operatorname{sec}^{2}(x)+\tan(x)=7,
com x\in[0,\pi].
Aqui vamos usar a identidade trigonométrica
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x)
e depois resolver uma equação quadrática em \tan(x).

Passo 2

Substituindo \operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x) na equação dada, obtemos
1+\tan^{2}(x)+\tan(x)=7
ou seja
\tan^{2}(x)+\tan(x)-6=0.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
t^{2}+t-6=0,\quad t=\tan(x),
fazemos fatoração:
(t+3)(t-2)=0
portanto
\tan(x)=2 \quad\text{ou}\quad \tan(x)=-3.

Passo 4

Agora, como x\in[0,\pi], temos
  • \tan(x)=2 ocorre em 0<x<\tfrac\pi2 (onde seno e cosseno são positivos).
  • \tan(x)=-3 ocorre em \tfrac\pi2<x<\pi (onde seno é positivo e cosseno é negativo).

Passo 5

Para cada valor de \tan(x) usamos
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+\tan^{2}(x), \qquad \operatorname{sec}(x)=\frac{1}{\cos(x)}, \qquad \sin(x)=\tan(x)\,\cos(x).
  1. Se \tan(x)=2:
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+2^{2}=5 \;\Rightarrow\; \operatorname{sec}(x)=\sqrt{5} \;\Rightarrow\; \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{5}}\;(\text{positivo}),
\sin(x)=\tan(x)\,\cos(x)=2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
  1. Se \tan(x)=-3:
\operatorname{sec}^{2}(x)=1+(-3)^{2}=10 \;\Rightarrow\; \operatorname{sec}(x)=\sqrt{10} \;\Rightarrow\; \cos(x)=\frac{1}{\operatorname{sec}(x)}=\frac{1}{\sqrt{10}}\text{, mas em }\Bigl(\tfrac\pi2,\pi\Bigr)\text{ é negativo,}é
\cos(x)=-\frac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin(x)=\tan(x)\,\cos(x)=(-3)\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{10}}\Bigr)=\frac{3}{\sqrt{10}}.

Resposta

Para \tan(x)=2 x\in(0,\tfrac\pi2):
\sin(x)=\frac{2}{\sqrt{5}},\quad \cos(x)=\frac{1}{\sqrt{5}},\quad \tan(x)=2.
Para \tan(x)=-3 x\in(\tfrac\pi2,\pi):
\sin(x)=\frac{3}{\sqrt{10}},\quad \cos(x)=-\frac{1}{\sqrt{10}},\quad \tan(x)=-3.

Exercícios relacionados