1. (\mathbf{1}, \mathbf{5}) Considere f e g funções reais de variável real dadas, respectivamente, por f(x)=1+ \operatorname{sen}(2 x) e g(x)=1+2 \cos (x). Determine o(s) valor(es) de x \in[0,2 \pi), tal(is) que os gráficos de f e g se cruzem-se.

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=1+\sin(2x)
e
g(x)=1+2\cos(x)
e pede os x\in[0,2\pi) tais que os gráficos se cruzem, ou seja, f(x)=g(x).
Vamos resolver a equação trigonométrica resultante usando identidade de ângulo duplo e fatoração.

Passo 2

Igualando as duas funções:
1+\sin(2x)=1+2\cos(x).
Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos
\sin(2x)=2\cos(x).

Passo 3

Aplicamos a identidade \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x). Substituindo:
2\sin(x)\cos(x)=2\cos(x).

Passo 4

Trazendo tudo para um lado e fatorando:
2\cos(x)\bigl(\sin(x)-1\bigr)=0.
Dessa forma, as soluções ocorrem quando \cos(x)=0
ou \sin(x)=1.

Passo 5

Resolvendo cada caso em \bigl[0,2\pi\bigr):
\cos(x)=0 x=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}.
\sin(x)=1 x=\tfrac{\pi}{2}. O valor \tfrac{\pi}{2} aparece em ambos, então as interseções são
x=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{3\pi}{2}.

Resposta

x=\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{3\pi}{2}.

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