-
Seja
tal que
e considere a equação
. Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois ângulos internos de um triângulo, determine o terceiro ângulo interno desse triângulo. Qual a classificação desse triângulo em relação aos seus lados?
Passo 1
O enunciado dá uma parábola definida pela equação
com
, cujas raízes reais são
e
, onde
e
são ângulos internos de um triângulo.
Precisamos usar as fórmulas de Viète para somas e produtos de raízes e a identidade de cotangente da soma de dois ângulos, além de lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale .
Precisamos usar as fórmulas de Viète para somas e produtos de raízes e a identidade de cotangente da soma de dois ângulos, além de lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale
Passo 2
Pelas fórmulas de Viète, se
e
, então
Como
, o discriminante
é positivo, garantindo duas raízes reais distintas e, portanto, dois ângulos agudos
e
(já que
implica ângulo em
).
Passo 3
Usamos a identidade
Logo
pois
.
Passo 4
O terceiro ângulo
do triângulo satisfaz
Passo 5
Como
, o triângulo é obtuso. Além disso,
implica discriminante positivo e raízes distintas, isto é,
e logo
. Portanto não há dois lados iguais, e o triângulo é escaleno.
Resposta
O terceiro ângulo é
(
) e o triângulo é obtuso e escaleno.