1. (\mathbf{1}, \mathbf{5}) Seja \alpha \in \mathbb{R} tal que \alpha>2+2 \sqrt{2} e considere a equação x^{2}-\alpha x+\alpha+1=0. Sabendo que as raízes reais dessa equação são as cotangentes de dois ângulos internos de um triângulo, determine o terceiro ângulo interno desse triângulo. Qual a classificação desse triângulo em relação aos seus lados?

Passo 1

O enunciado dá uma parábola definida pela equação
x^{2}-\alpha x+(\alpha+1)=0,
com \alpha>2+2\sqrt{2}, cujas raízes reais são \cot A e \cot B, onde A e B são ângulos internos de um triângulo.
Precisamos usar as fórmulas de Viète para somas e produtos de raízes e a identidade de cotangente da soma de dois ângulos, além de lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale \pi.

Passo 2

Pelas fórmulas de Viète, se x_{1}=\cot A e x_{2}=\cot B, então
x_{1}+x_{2}=\alpha \quad\text{e}\quad x_{1}x_{2}=\alpha+1.
Como \alpha>2+2\sqrt{2}, o discriminante
\Delta=\alpha^{2}-4(\alpha+1)=\alpha^{2}-4\alpha-4
é positivo, garantindo duas raízes reais distintas e, portanto, dois ângulos agudos A e B (já que \cot>0 implica ângulo em (0,\tfrac{\pi}{2})).

Passo 3

Usamos a identidade
\cot(A+B) =\frac{\cot A\,\cot B -1}{\cot A+\cot B} =\frac{(\alpha+1)-1}{\alpha} =\frac{\alpha}{\alpha}=1.
Logo
A+B=\arccot(1)=\frac{\pi}{4},
pois A+B<\pi.

Passo 4

O terceiro ângulo C do triângulo satisfaz
C=\pi-(A+B)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.

Passo 5

Como C=\tfrac{3\pi}{4}>\tfrac{\pi}{2}, o triângulo é obtuso. Além disso, \alpha>2+2\sqrt{2} implica discriminante positivo e raízes distintas, isto é, \cot A\neq\cot B e logo A\neq B. Portanto não há dois lados iguais, e o triângulo é escaleno.

Resposta

O terceiro ângulo é \displaystyle \tfrac{3\pi}{4} ( 135\circ) e o triângulo é obtuso e escaleno.

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