(\mathbf{1}, \mathbf{5}) Calcule \operatorname{sen}(x), \cos (x) e \operatorname{tg}(x), sabendo que:
\operatorname{sen}(x)+3 \cos (x)=-1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \operatorname{sen}(x), \cos(x) e \operatorname{tg}(x) sabendo que
\operatorname{sen}(x) + 3\cos(x) = -1.
Para isso, vamos usar também a identidade trigonométrica fundamental
\operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1.

Passo 2

Isolamos \operatorname{sen}(x) na equação dada:
\operatorname{sen}(x) = -1 - 3\cos(x).

Passo 3

Substituímos essa expressão em \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x)=1:
\bigl(-1 - 3\cos(x)\bigr)^2 + \cos^2(x) = 1.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
1 + 6\cos(x) + 9\cos^2(x) + \cos^2(x) = 1
10\cos^2(x) + 6\cos(x) = 0
2\cos(x)\,\bigl(5\cos(x) + 3\bigr) = 0.
Logo as soluções para \cos(x) são
\cos(x) = 0 \quad\text{ou}\quad 5\cos(x) + 3 = 0 \;\Rightarrow\;\cos(x) = -\tfrac{3}{5}.

Passo 5

Para cada caso, achamos \operatorname{sen}(x):
  • Se \cos(x)=0, então
    \operatorname{sen}(x) = -1 - 3\cdot 0 = -1.
  • Se \cos(x)=-\tfrac{3}{5}, então
\operatorname{sen}(x) = -1 - 3\Bigl(-\tfrac{3}{5}\Bigr) = -1 + \tfrac{9}{5} = \tfrac{4}{5}.

Passo 6

Agora calculamos \operatorname{tg}(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)} em cada caso:
  • Para \cos(x)=0 e \operatorname{sen}(x)=-1, a tangente é indefinida, então descartamos se o problema exige \operatorname{tg}(x) bem definida.
  • Para \cos(x)=-\tfrac{3}{5} e \operatorname{sen}(x)=\tfrac{4}{5},
\operatorname{tg}(x) = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}.

Passo 7

Concluímos que a solução que permite \operatorname{tg}(x) finita é
\operatorname{sen}(x) = \tfrac{4}{5},\quad \cos(x) = -\tfrac{3}{5},\quad \operatorname{tg}(x) = -\tfrac{4}{3}.

Resposta

\operatorname{sen}(x)=\tfrac{4}{5}, \cos(x)=-\tfrac{3}{5} e \operatorname{tg}(x)=-\tfrac{4}{3}.

Exercícios relacionados