Considerando que
é uma familia de soluções a dois parâmetros de
no intervalo de
, mostre que não existe nenhum membro da familia que satisfaça as condições iniciais
; isto é, não podem ser encontradas as constantes
e
. Explique por que isso não viola o Teorema 4.1.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial
e uma família de soluções dessa equação que é
, onde
e
são constantes. A tarefa é mostrar que não dá para encontrar valores para
e
que satisfaçam as condições iniciais
e
. Além disso, precisamos explicar por que isso não entra em conflito com o Teorema 4.1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar as condições iniciais na família de soluções. A condição
significa que, quando
, o valor de
deve ser 0. Vamos substituir
na expressão de
:
Então, para satisfazer
, precisamos que
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda condição inicial
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Para satisfazer
, precisaríamos que
, o que é impossível.
Passo 4
Então, o que encontramos é que, ao aplicar as condições iniciais, obtemos
e
, o que não corresponde à condição
. Isso significa que não existe nenhum membro na família de soluções
que satisfaça as duas condições iniciais ao mesmo tempo. Portanto, não podemos determinar valores para
e
que atendam ambas as condições.
Passo 5
Agora, por que isso não viola o Teorema 4.1? Geralmente, o Teorema 4.1 trata da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais sob certas condições. No nosso caso, o ponto
é problemático porque a equação diferencial
tem um coeficiente
multiplicando
, o que significa que a equação não está definida em
(o coeficiente de
se anula). Como o teorema geralmente requer que os coeficientes sejam contínuos ou não nulos no ponto considerado, o fato de
tornar a equação singular impede a aplicação direta do teorema. Por isso, a impossibilidade de satisfazer as condições iniciais não entra em conflito com o Teorema 4.1.
Resposta
Não existe nenhum membro da família
que satisfaça as condições iniciais
e
. Isso ocorre porque, ao aplicar
, obtemos
, mas então
, o que não iguala a 1. Essa situação não viola o Teorema 4.1 porque a equação diferencial não está definida em
, tornando o ponto singular e impedindo a aplicação direta do teorema na determinação das constantes.