Considerando que y=c1+c2 x^2 é uma familia de soluções a dois parâmetros de x y^prime prime-y^prime=0 no intervalo de (-infty, infty), mostre que não existe nenhum membro da familia que satisfaça as condições iniciais y(0)=0, y^prime(0)=1; isto é, não podem ser encontradas as constantes c1 e c2. Explique por que isso não viola o Teorema 4.1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e uma família de soluções dessa equação que é , onde e são constantes. A tarefa é mostrar que não dá para encontrar valores para e que satisfaçam as condições iniciais e . Além disso, precisamos explicar por que isso não entra em conflito com o Teorema 4.1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar as condições iniciais na família de soluções. A condição y(0) = c1 + c2 cdot 0^2 = c1 + 0 = c1 significa que, quando , o valor de deve ser 0. Vamos substituir na expressão de :
Então, para satisfazer , precisamos que .

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda condição inicial y = c1 + c2 x^2 y' = ddx(c1) + ddx(c2 x^2) = 0 + 2 c2 x = 2 c2 x . Primeiro, precisamos encontrar a derivada de y'(0) = 2 c2 cdot 0 = 0 em relação a :
Agora, substituímos na expressão de :
Para satisfazer , precisaríamos que , o que é impossível.

Passo 4

Então, o que encontramos é que, ao aplicar as condições iniciais, obtemos e , o que não corresponde à condição . Isso significa que não existe nenhum membro na família de soluções que satisfaça as duas condições iniciais ao mesmo tempo. Portanto, não podemos determinar valores para e que atendam ambas as condições.

Passo 5

Agora, por que isso não viola o Teorema 4.1? Geralmente, o Teorema 4.1 trata da existência e unicidade de soluções para equações diferenciais sob certas condições. No nosso caso, o ponto é problemático porque a equação diferencial tem um coeficiente multiplicando , o que significa que a equação não está definida em (o coeficiente de se anula). Como o teorema geralmente requer que os coeficientes sejam contínuos ou não nulos no ponto considerado, o fato de tornar a equação singular impede a aplicação direta do teorema. Por isso, a impossibilidade de satisfazer as condições iniciais não entra em conflito com o Teorema 4.1.

Resposta

Não existe nenhum membro da família que satisfaça as condições iniciais e . Isso ocorre porque, ao aplicar , obtemos , mas então , o que não iguala a 1. Essa situação não viola o Teorema 4.1 porque a equação diferencial não está definida em , tornando o ponto singular e impedindo a aplicação direta do teorema na determinação das constantes.

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