Exercício 28. Calcule a derivada
y=\ln \left(\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\!\left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}\right)
e pede para calcular a derivada y'. Informações relevantes que temos:
  • A variável independente é x.
  • Dentro do logaritmo aparece uma razão envolvendo \tan de \frac{x}{2}.
  • Precisamos aplicar regras de derivação (cadeia, derivada do \ln, derivada da \tan, etc.) para obter y'.

Passo 2

Uma observação muito útil (e que simplifica bastante a conta) é usar a fórmula da tangente da soma:
\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\;\tan B}.
Escolhendo A=\frac{\pi}{4} (assim \tan A=1) e B=\frac{x}{2} obtemos
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)=\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}}.
Portanto estou pegando o dado do enunciado e reescrevendo o quociente do logaritmo como uma tangente de soma.

Passo 3

Com isso eu posso reescrever y de forma mais simples:
y=\ln\!\left(\tan\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right).
Essa forma é mais direta para derivar, porque agora é \ln de uma única função composta.

Passo 4

Vou aplicar a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo. A regra geral é:
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right). Então
y'=\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 5

Agora preciso de u'(x). Sei que a derivada da tangente é
\frac{d}{dv}\tan v=\operatorname{sec}^2 v,
onde \operatorname{sec} v=\dfrac{1}{\cos v}. Aplicando a cadeia novamente, com v=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}, tenho v'=\frac{1}{2}. Assim
u'(x)=\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo u'(x) e u(x) em y'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}, obtemos
y'=\frac{\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}}{\tan\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}.
Agora vamos simplificar essa expressão. Primeiro veja que
\frac{\operatorname{sec}^2 v}{\tan v}=\frac{\dfrac{1}{\cos^2 v}}{\dfrac{\sin v}{\cos v}}=\frac{1}{\sin v\cos v}.
Então, com v=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2},
y'=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sin v\cos v}.

Passo 7

Usando a identidade do seno do dobro de ângulo:
\sin(2v)=2\sin v\cos v,
segue que
\sin v\cos v=\frac{1}{2}\sin(2v).
Substituindo na expressão de y':
y'=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2v)}=\frac{1}{\sin(2v)}.

Passo 8

Agora calcule 2v. Lembrando v=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2},
2v=\frac{\pi}{2}+x.
Então
\sin(2v)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right).
Usando a identidade \sin\!\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos x (porque \sin deslocado de \pi/2 vira cosseno), obtemos
\sin(2v)=\cos x.
Logo
y'=\frac{1}{\cos x}.

Passo 9

Podemos escrever a resposta também usando a notação de secante:
y'=\operatorname{sec} x.
Pronto — chegou num resultado muito simples: a derivada da função complicada é só \operatorname{sec} x. Força aí — essa técnica de reconhecer identidade trigonométrica (aqui a tangente da soma) vale muito em prova: reduz trabalho e evita frações enormes.

Resposta

\displaystyle y'=\operatorname{sec} x

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