Exercício 28. Calcule a derivada
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada
. Informações relevantes que temos:
- A variável independente é
. - Dentro do logaritmo aparece uma razão envolvendo
de . - Precisamos aplicar regras de derivação (cadeia, derivada do
, derivada da , etc.) para obter .
Passo 2
Uma observação muito útil (e que simplifica bastante a conta) é usar a fórmula da tangente da soma:
Escolhendo
(assim
) e
obtemos
Portanto estou pegando o dado do enunciado e reescrevendo o quociente do logaritmo como uma tangente de soma.
Passo 3
Com isso eu posso reescrever
de forma mais simples:
Essa forma é mais direta para derivar, porque agora é
de uma única função composta.
Passo 4
Vou aplicar a regra da cadeia combinada com a derivada do logaritmo. A regra geral é:
Aqui
. Então
Passo 5
Agora preciso de
. Sei que a derivada da tangente é
onde
. Aplicando a cadeia novamente, com
, tenho
. Assim
Passo 6
Substituindo
e
em
, obtemos
Agora vamos simplificar essa expressão. Primeiro veja que
Então, com
,
Passo 7
Usando a identidade do seno do dobro de ângulo:
segue que
Substituindo na expressão de
:
Passo 8
Agora calcule
. Lembrando
,
Então
Usando a identidade
(porque
deslocado de
vira cosseno), obtemos
Logo
Passo 9
Podemos escrever a resposta também usando a notação de secante:
Pronto — chegou num resultado muito simples: a derivada da função complicada é só
. Força aí — essa técnica de reconhecer identidade trigonométrica (aqui a tangente da soma) vale muito em prova: reduz trabalho e evita frações enormes.