Exercício 30 (Exercício 32. Calcule a derivada de:). Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações úteis:
- A primeira parcela é
. Aqui é o mesmo que . - A segunda parcela é
. - A função
exige ; portanto o domínio considerado é . - O que precisamos encontrar é
, a derivada de em função de .
Passo 2
Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções
e
, a derivada do produto é
Explicando:
é a derivada de
em relação a
,
é a derivada de
em relação a
. A fórmula significa “deriva a primeira mantendo a segunda + mantém a primeira derivando a segunda”.
Também usaremos regras básicas:
- Derivada de soma:
. - Derivada de constante vezes função:
. - Derivadas elementares:
, . - Derivada do logaritmo na base
, : . Aqui é o logaritmo natural.
Passo 3
Calcular
com cuidado. Lembremos que
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Somando:
Expliquei cada passo: derivei
como
e multiplique por
, e somei com a derivada de
.
Passo 4
Calcular
com cuidado. Lembremos que
.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Somando os três resultados:
Observação: a expressão
vem diretamente da fórmula da derivada do logaritmo na base
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto
. Substituindo
que já calculamos:
Aqui cada parcela corresponde a “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “manter a primeira e derivar a segunda”.
Passo 6
Podemos deixar o resultado nessa forma (clara e correta) ou fazer uma pequena reorganização (opcional). Uma forma ligeiramente reorganizada é:
Essa é a expressão final da derivada; manteve-se explícito cada termo para facilitar conferência na prova.