Exercício 30 (Exercício 32. Calcule a derivada de:). Calcule a derivada das seguintes funções:
f(x)=(2 \cos x+\operatorname{sen} x)\left(x^{2}+\log _{5} x+2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=(2\cos x+\operatorname{sen} x)\bigl(x^{2}+\log_{5}x+2x\bigr).
Informações dadas e observações úteis:
  • A primeira parcela é u(x)=2\cos x+\operatorname{sen} x. Aqui \operatorname{sen} x é o mesmo que \sin x.
  • A segunda parcela é v(x)=x^{2}+\log_{5}x+2x.
  • A função \log_{5}x exige x>0; portanto o domínio considerado é x>0.
  • O que precisamos encontrar é f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Regra que vamos usar: a regra do produto. Se tivermos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando: u'(x) é a derivada de u em relação a x, v'(x) é a derivada de v em relação a x. A fórmula significa “deriva a primeira mantendo a segunda + mantém a primeira derivando a segunda”.
Também usaremos regras básicas:
  • Derivada de soma: \dfrac{d}{dx}(a(x)+b(x))=a'(x)+b'(x).
  • Derivada de constante vezes função: \dfrac{d}{dx}(c\cdot g(x))=c\cdot g'(x).
  • Derivadas elementares: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • Derivada do logaritmo na base a>0, a\neq1: \dfrac{d}{dx}\log_{a}x=\dfrac{1}{x\ln a}. Aqui \ln é o logaritmo natural.

Passo 3

Calcular u'(x) com cuidado. Lembremos que u(x)=2\cos x+\sin x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(2\cos x\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\cos x=2\cdot(-\sin x)=-2\sin x,
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Somando:
u'(x)=-2\sin x+\cos x.
Expliquei cada passo: derivei \cos como -\sin e multiplique por 2, e somei com a derivada de \sin x.

Passo 4

Calcular v'(x) com cuidado. Lembremos que v(x)=x^{2}+\log_{5}x+2x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
\frac{d}{dx}\bigl(\log_{5}x\bigr)=\frac{1}{x\ln 5},
\frac{d}{dx}\bigl(2x\bigr)=2.
Somando os três resultados:
v'(x)=2x+\frac{1}{x\ln 5}+2.
Observação: a expressão \dfrac{1}{x\ln 5} vem diretamente da fórmula da derivada do logaritmo na base 5.

Passo 5

Aplicar a regra do produto f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Substituindo u,u',v,v' que já calculamos:
f'(x)=\bigl(-2\sin x+\cos x\bigr)\bigl(x^{2}+\log_{5}x+2x\bigr) +(2\cos x+\sin x)\left(2x+\frac{1}{x\ln 5}+2\right).
Aqui cada parcela corresponde a “derivar a primeira e multiplicar pela segunda” mais “manter a primeira e derivar a segunda”.

Passo 6

Podemos deixar o resultado nessa forma (clara e correta) ou fazer uma pequena reorganização (opcional). Uma forma ligeiramente reorganizada é:
f'(x)=(-2\sin x+\cos x)\bigl(x^{2}+\log_{5}x+2x\bigr)+(2\cos x+\sin x)\left(2x+2+\frac{1}{x\ln 5}\right).
Essa é a expressão final da derivada; manteve-se explícito cada termo para facilitar conferência na prova.

Resposta

f'(x)=(-2\sin x+\cos x)\bigl(x^{2}+\log_{5}x+2x\bigr)+(2\cos x+\sin x)\left(2x+2+\frac{1}{x\ln 5}\right)

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