Considerar um cilindro com comprimento, a=0,5 m, isolado termicamente na sua superfície lateral. A distribuição de temperatura no cilindro é governada pela equação da difusão de calor com a forma: partial^2 T / partial x^2=partial T / partial t. Considerar as seguintes condições de contorno e inicial: T(0, t)=50^circ C e T(a, t)=30^circ C para t>0; e T(x, 0)=50-40 x+3 sen(4 pi x)+7 sen(10 pi x), para 0. Determinar a solução em estado estacionário e verificar se a seguinte solução satisfaz o modelo e as condições de contorno e inicial: T(x, t)=50-40 x+3 exp [-16 pi^2 t) sen(4 pi x)+ 7 exp (-100 pi^2 t) sen(10 pi x), com T em ^circ C e x em metros.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro com comprimento $ a = 0,5 $ metros, que está isolado termicamente na sua superfície lateral. A distribuição de temperatura ao longo do cilindro é descrita pela equação da difusão de calor:
a = 0,5
As condições dadas são:
  • Condições de contorno:
    • $ T(0, t) = 50^{\circ} \mathrm{C} $
    • $ T(a, t) = 30^{\circ} \mathrm{C} $ para $ t > 0 $
  • Condição inicial:
    • $ T(x, 0) = 50 - 40x + 3 \sin(4\pi x) + 7 \sin(10\pi x) $ para $ 0 < x < a $
A tarefa é encontrar a solução em estado estacionário e verificar se a solução proposta satisfaz o modelo e as condições dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da difusão de calor, condições de contorno e inicial, e como encontrar soluções estacionárias.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa uma solução em estado estacionário. Em estado estacionário, a temperatura não muda mais com o tempo, ou seja, $ \frac{\partial T}{\partial t} = 0 $.
Então, vamos simplificar a equação da difusão de calor para o estado estacionário:
partial Tpartial t = 0
Isso é uma equação diferencial ordinária simples. A solução geral dessa equação é:
partial^2 Tpartial x^2 = 0
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos usando as condições de contorno.

Passo 3

Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição de contorno: $ T(0) = 50^{\circ} \mathrm{C} $
Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
C1
Segunda condição de contorno: $ T(a) = 30^{\circ} \mathrm{C} $, onde $ a = 0,5 $ m
Substituindo $ x = a $ na solução geral:
C2
Vamos resolver para $ C_1 $:
T(0) = 50^circ C

Passo 4

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução em estado estacionário:
C1 á
Essa é a solução que não varia com o tempo e satisfaz as condições de contorno dadas.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a solução proposta na questão satisfaz o modelo e as condições iniciais e de contorno.
A solução proposta é:
T(x, t) = 50 - 40x + 3 e^-16pi^2 t sin(4pi x) + 7 e^-100pi^2 t sin(10pi x)
Vamos analisar cada parte dessa expressão:
  • $ 50 - 40x $: corresponde exatamente à solução em estado estacionário que encontramos.
  • $ 3 e{-16\pi{2} t} \sin(4\pi x) $ e $ 7 e{-100\pi{2} t} \sin(10\pi x) $: são termos que descrevem como as variações iniciais na temperatura (as funções seno) decaem ao longo do tempo devido à difusão de calor.

Passo 6

Para verificar se a solução proposta satisfaz a equação da difusão de calor, vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ T(x, t) $:
Derivada segunda em relação a $ x $:
T(x, t)
Derivada primeira em relação a $ t $:
x
Agora, substituímos essas expressões na equação da difusão de calor:
partial^2 Tpartial x^2 = -40 + 3 e^-16pi^2 t cdot (-16pi^2) sin(4pi x) + 7 e^-100pi^2 t cdot (-100pi^2) sin(10pi x)
Fazendo as substituições:
t
Observamos que os termos com exponenciais e senos estão iguais em ambos os lados, e o termo constante partial Tpartial t = 3 cdot (-16pi^2) e^-16pi^2 t sin(4pi x) + 7 cdot (-100pi^2) e^-100pi^2 t sin(10pi x) cancela, confirmando que a solução proposta satisfaz a equação da difusão de calor.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar as condições de contorno e a condição inicial.
Condições de contorno:
  • Para $ x = 0 $:
x = 0
  • Para $ x = a = 0,5 $ m:
T(0, t) = 50 - 40 cdot 0 + 3 e^-16pi^2 t sin(0) + 7 e^-100pi^2 t sin(0) = 50^circ C
Ambas as condições são satisfeitas.
Condição inicial:
Para $ t = 0 $:
x = a = 0,5
Que corresponde exatamente à condição inicial dada.

Resposta

A solução em estado estacionário é $ T_{estacionário}(x) = 50 - 40x $. Além disso, a solução proposta:
Testacionário(x) = 50 - 40x
satisfaz a equação da difusão de calor, as condições de contorno e a condição inicial fornecidas.

Exercícios relacionados