Considerar um cilindro com comprimento,
, isolado termicamente na sua superfície lateral. A distribuição de temperatura no cilindro é governada pela equação da difusão de calor com a forma:
. Considerar as seguintes condições de contorno e inicial:
e
para
; e
, para
. Determinar a solução em estado estacionário e verificar se a seguinte solução satisfaz o modelo e as condições de contorno e inicial:
, com
em
e
em metros.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cilindro com comprimento $ a = 0,5 $ metros, que está isolado termicamente na sua superfície lateral. A distribuição de temperatura ao longo do cilindro é descrita pela equação da difusão de calor:
As condições dadas são:
-
Condições de contorno:
- $ T(0, t) = 50^{\circ} \mathrm{C} $
- $ T(a, t) = 30^{\circ} \mathrm{C} $ para $ t > 0 $
-
Condição inicial:
- $ T(x, 0) = 50 - 40x + 3 \sin(4\pi x) + 7 \sin(10\pi x) $ para $ 0 < x < a $
A tarefa é encontrar a solução em estado estacionário e verificar se a solução proposta satisfaz o modelo e as condições dadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender a equação da difusão de calor, condições de contorno e inicial, e como encontrar soluções estacionárias.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa uma solução em estado estacionário. Em estado estacionário, a temperatura não muda mais com o tempo, ou seja, $ \frac{\partial T}{\partial t} = 0 $.
Então, vamos simplificar a equação da difusão de calor para o estado estacionário:
Isso é uma equação diferencial ordinária simples. A solução geral dessa equação é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que determinamos usando as condições de contorno.
Passo 3
Vamos aplicar as condições de contorno para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeira condição de contorno: $ T(0) = 50^{\circ} \mathrm{C} $
Substituindo $ x = 0 $ na solução geral:
Segunda condição de contorno: $ T(a) = 30^{\circ} \mathrm{C} $, onde $ a = 0,5 $ m
Substituindo $ x = a $ na solução geral:
Vamos resolver para $ C_1 $:
Passo 4
Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, podemos escrever a solução em estado estacionário:
Essa é a solução que não varia com o tempo e satisfaz as condições de contorno dadas.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se a solução proposta na questão satisfaz o modelo e as condições iniciais e de contorno.
A solução proposta é:
Vamos analisar cada parte dessa expressão:
- $ 50 - 40x $: corresponde exatamente à solução em estado estacionário que encontramos.
- $ 3 e{-16\pi{2} t} \sin(4\pi x) $ e $ 7 e{-100\pi{2} t} \sin(10\pi x) $: são termos que descrevem como as variações iniciais na temperatura (as funções seno) decaem ao longo do tempo devido à difusão de calor.
Passo 6
Para verificar se a solução proposta satisfaz a equação da difusão de calor, vamos calcular as derivadas necessárias e substituir na equação.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de $ T(x, t) $:
Derivada segunda em relação a $ x $:
Derivada primeira em relação a $ t $:
Agora, substituímos essas expressões na equação da difusão de calor:
Fazendo as substituições:
Observamos que os termos com exponenciais e senos estão iguais em ambos os lados, e o termo constante
cancela, confirmando que a solução proposta satisfaz a equação da difusão de calor.
Passo 7
Finalmente, vamos verificar as condições de contorno e a condição inicial.
Condições de contorno:
- Para $ x = 0 $:
- Para $ x = a = 0,5 $ m:
Ambas as condições são satisfeitas.
Condição inicial:
Para $ t = 0 $:
Que corresponde exatamente à condição inicial dada.
Resposta
A solução em estado estacionário é $ T_{estacionário}(x) = 50 - 40x $. Além disso, a solução proposta:
satisfaz a equação da difusão de calor, as condições de contorno e a condição inicial fornecidas.