A distribuição de temperatura numa superfície plana triangular de concreto é definida pela equação:
, com
em
e
em decímetros. A superfície triangular é a porção do plano
incluído no primeiro octante. Calcular a taxa de transferência de calor por condução através da superfície da placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre transferência de calor por condução em uma superfície triangular de concreto. O conteúdo principal aqui é Transferência de Calor por Condução, que envolve conceitos de cálculo vetorial e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de calor através da superfície usando a equação da temperatura fornecida.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da temperatura, que nos dá como a temperatura varia em cada direção. A equação da temperatura é:
O gradiente de T, denotado por ∇T, é um vetor que contém as derivadas parciais de T em relação a x, y e z:
Vamos calcular cada derivada.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de T:
- Derivada em relação a x:
- Derivada em relação a y:
- Derivada em relação a z:
Então, o gradiente de T é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. A superfície triangular está definida pelo plano:
O vetor normal a um plano na forma $ Ax + By + Cz = D $ é $ \vec{n} = (A, B, C) $. Então, para o nosso plano:
Passo 5
Para calcular a taxa de transferência de calor por condução, usamos a fórmula:
Onde:
- $ \nabla T $ é o gradiente da temperatura,
- $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície,
- $ dS $ é o elemento de área da superfície.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar $ \nabla T \cdot \vec{n} $:
Passo 6
Agora, precisamos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $ usando a equação do plano:
Substituindo $ z $ na expressão de $ \nabla T \cdot \vec{n} $:
Agora, para encontrar $ dS $, usamos a relação para planos:
Calculando as derivadas parciais de $ z $:
Então:
Passo 7
Agora, montamos a integral dupla para $ q $:
Podemos simplificar multiplicando por 3:
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região $ D $ no primeiro octante do plano $ 2x + 2y + z = 6 $.
Quando $ z = 0 $:
Então, $ x $ varia de 0 a 3, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ 3 - x $.
Portanto, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 8
Primeiro, integraremos em relação a $ y $:
Integrando termo a termo:
- $ \int 6 x y , dy = 6x \cdot \frac{y^{2}}{2} = 3x y^{2} $
- $ \int 3 x^{2} , dy = 3x^{2} y $
- $ \int 12 , dy = 12 y $
- $ \int (-4x) , dy = -4x y $
- $ \int (-4y) , dy = -4 \cdot \frac{y^{2}}{2} = -2 y^{2} $
Agora, avaliamos de 0 a $ 3 - x $:
Vamos simplificar cada termo:
- $ 3x (9 - 6x + x^{2}) = 27x - 18x^{2} + 3x^{3} $
- $ 3x^{2} (3 - x) = 9x^{2} - 3x^{3} $
- $ 12 (3 - x) = 36 - 12x $
- $ -4x (3 - x) = -12x + 4x^{2} $
- $ -2 (9 - 6x + x^{2}) = -18 + 12x - 2x^{2} $
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
- Termos de $ x^{3} $: $ 3x^{3} - 3x^{3} = 0 $
- Termos de $ x^{2} $: $ -18x^{2} + 9x^{2} + 4x^{2} - 2x^{2} = -7x^{2} $
- Termos de $ x $: $ 27x - 12x - 12x + 12x = 15x $
- Termos constantes: $ 36 - 18 = 18 $
Então, a integral interna resulta em:
Passo 9
Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a $ x $ de 0 a 3:
Integrando termo a termo:
- $ \int -7x^{2} , dx = -7 \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{7}{3} x^{3} $
- $ \int 15x , dx = \frac{15}{2} x^{2} $
- $ \int 18 , dx = 18x $
Avaliado de 0 a 3:
Calculando:
Resposta
A taxa de transferência de calor por condução através da superfície da placa é 58,5 unidades de calor.