A distribuição de temperatura numa superfície plana triangular de concreto é definida pela equação: T(x, y, z)=(x^2 y / 2)+(z^2 / 3), com T em ^circ C, x, y e z em decímetros. A superfície triangular é a porção do plano 2 x+2 y+z=6 incluído no primeiro octante. Calcular a taxa de transferência de calor por condução através da superfície da placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre transferência de calor por condução em uma superfície triangular de concreto. O conteúdo principal aqui é Transferência de Calor por Condução, que envolve conceitos de cálculo vetorial e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo de calor através da superfície usando a equação da temperatura fornecida.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da temperatura, que nos dá como a temperatura varia em cada direção. A equação da temperatura é:
T(x, y, z) = x^2 y2 + z^23
O gradiente de T, denotado por ∇T, é um vetor que contém as derivadas parciais de T em relação a x, y e z:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
Vamos calcular cada derivada.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de T:
  1. Derivada em relação a x:
partial Tpartial x = partialpartial x ( x^2 y2 + z^23 ) = 2x y2 = x y
  1. Derivada em relação a y:
partial Tpartial y = partialpartial y ( x^2 y2 + z^23 ) = x^22
  1. Derivada em relação a z:
partial Tpartial z = partialpartial z ( x^2 y2 + z^23 ) = 2z3
Então, o gradiente de T é:
nabla T = ( x y, x^22, 2 z3 )

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal à superfície. A superfície triangular está definida pelo plano:
2x + 2y + z = 6
O vetor normal a um plano na forma $ Ax + By + Cz = D $ é $ \vec{n} = (A, B, C) $. Então, para o nosso plano:
Ax + By + Cz = D

Passo 5

Para calcular a taxa de transferência de calor por condução, usamos a fórmula:
q = integral duplaS nabla T cdot n , dS
Onde:
  • $ \nabla T $ é o gradiente da temperatura,
  • $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície,
  • $ dS $ é o elemento de área da superfície.
Primeiro, vamos calcular o produto escalar $ \nabla T \cdot \vec{n} $:
nabla T

Passo 6

Agora, precisamos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $ usando a equação do plano:
z
Substituindo $ z $ na expressão de $ \nabla T \cdot \vec{n} $:
x
Agora, para encontrar $ dS $, usamos a relação para planos:
y
Calculando as derivadas parciais de $ z $:
2x + 2y + z = 6 implies z = 6 - 2x - 2y
Então:
z

Passo 7

Agora, montamos a integral dupla para $ q $:
q
Podemos simplificar multiplicando por 3:
q = integral duplaD ( 2 x y + x^2 + 4 - 4x3 - 4y3 ) cdot 3 , dx , dy
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região $ D $ no primeiro octante do plano $ 2x + 2y + z = 6 $.
Quando $ z = 0 $:
q = integral duplaD ( 6 x y + 3 x^2 + 12 - 4x - 4y ) , dx , dy
Então, $ x $ varia de 0 a 3, e para cada $ x $, $ y $ varia de 0 a $ 3 - x $.
Portanto, a integral fica:
D
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 8

Primeiro, integraremos em relação a $ y $:
y
Integrando termo a termo:
  1. $ \int 6 x y , dy = 6x \cdot \frac{y^{2}}{2} = 3x y^{2} $
  2. $ \int 3 x^{2} , dy = 3x^{2} y $
  3. $ \int 12 , dy = 12 y $
  4. $ \int (-4x) , dy = -4x y $
  5. $ \int (-4y) , dy = -4 \cdot \frac{y^{2}}{2} = -2 y^{2} $
Agora, avaliamos de 0 a $ 3 - x $:
integral0^3 - x ( 6 x y + 3 x^2 + 12 - 4x - 4y ) , dy
Vamos simplificar cada termo:
  1. $ 3x (9 - 6x + x^{2}) = 27x - 18x^{2} + 3x^{3} $
  2. $ 3x^{2} (3 - x) = 9x^{2} - 3x^{3} $
  3. $ 12 (3 - x) = 36 - 12x $
  4. $ -4x (3 - x) = -12x + 4x^{2} $
  5. $ -2 (9 - 6x + x^{2}) = -18 + 12x - 2x^{2} $
Agora, somamos todos os termos:
integral 6 x y , dy = 6x cdot y^22 = 3x y^2
Simplificando:
  • Termos de $ x^{3} $: $ 3x^{3} - 3x^{3} = 0 $
  • Termos de $ x^{2} $: $ -18x^{2} + 9x^{2} + 4x^{2} - 2x^{2} = -7x^{2} $
  • Termos de $ x $: $ 27x - 12x - 12x + 12x = 15x $
  • Termos constantes: $ 36 - 18 = 18 $
Então, a integral interna resulta em:
integral 3 x^2 , dy = 3x^2 y

Passo 9

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a $ x $ de 0 a 3:
x
Integrando termo a termo:
  1. $ \int -7x^{2} , dx = -7 \cdot \frac{x^{3}}{3} = -\frac{7}{3} x^{3} $
  2. $ \int 15x , dx = \frac{15}{2} x^{2} $
  3. $ \int 18 , dx = 18x $
Avaliado de 0 a 3:
q = integral0^3 (-7x^2 + 15x + 18) , dx
Calculando:
integral -7x^2 , dx = -7 cdot x^33 = -73 x^3

Resposta

A taxa de transferência de calor por condução através da superfície da placa é 58,5 unidades de calor.

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