1. Considerar a compressão isotérmica de 0,10 moles de um gás perfeito a \mathrm{T}=0^{\circ} \mathrm{C}. A pressão inicial é de 1 atm e o volume final de 1 / 5 do inicial.
    a) Determinar o trabalho necessário.
    b) O gás troca calor com o ambiente? Em caso afirmativo, qual a quantidade trocada e em que sentido?
    c) Qual a variação da energia interna?

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • n=0{,}10 mol (número de mols).
    • \mathrm{T}=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K} (temperatura; passei para kelvin).
    • Pressão inicial P_i=1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • O volume final é V_f=\dfrac{1}{5}V_i (compressão até um quinto do volume inicial).
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o trabalho necessário.
    (b) Saber se o gás troca calor com o ambiente; em caso afirmativo, qual a quantidade trocada e em que sentido (para dentro ou para fora).
    (c) Determinar a variação da energia interna \Delta U.

Passo 2

Explicar a fórmula do trabalho em um processo isotérmico reversível para gás ideal e convenções de sinal.
  • Para um processo quasi‑estático, o trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de V_i para V_f é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V.
  • Para gás ideal em processo isotérmico a T constante, a equação de estado é
P=\frac{nRT}{V},
onde n é número de mols, R é a constante dos gases perfeitos e T é a temperatura absoluta.
  • Substituindo na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,\mathrm{d}V=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Observação sobre sinais: aqui W é o trabalho realizado pelo sistema (pelo gás). Se o enunciado pede “trabalho necessário” para comprimir, normalmente busca o trabalho feito sobre o gás, que é o oposto: W_{\text{sobre}}=-W.

Passo 3

Preparar valores numéricos e constantes a usar.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
  • Temperatura: T=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o produto nRT:
nRT=0{,}10\times 8{,}314\times 273{,}15.
  • Fazer a conta passo a passo:
8{,}314\times 273{,}15 \approx 2\,270{,}9691
nRT=0{,}10\times 2\,270{,}9691 \approx 227{,}09691\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente:
nRT\approx 227{,}10\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular o trabalho realizado pelo gás usando a fórmula isotérmica.
  • Usar \dfrac{V_f}{V_i}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 e \ln(0{,}2)=-\ln 5\approx -1{,}6094379.
  • Aplicar:
W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\approx 227{,}10\times (-1{,}6094379)\\ \mathrm{J}.
  • Resultado numérico:
W\approx -365{,}63\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação de sinal: W negativo significa que o gás realizou trabalho negativo, i.e. foi realizado trabalho sobre o gás (compressão). O trabalho realizado sobre o gás é
W_{\text{sobre}}=-W\approx +365{,}63\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar a Primeira Lei da Termodinâmica para relacionar calor, trabalho e variação de energia interna.
  • A primeira lei, com a convenção W como trabalho realizado pelo sistema, é
\Delta U=Q-W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra).
  • Para gás ideal mono ou poliatômico ideal em processo isotérmico, a energia interna depende apenas da temperatura; como \mathrm{T} é constante,
\Delta U=0.

Passo 6

Determinar o calor trocado Q e interpretar o sentido.
  • Com \Delta U=0, da primeira lei vem
0=Q-W \quad\Rightarrow\quad Q=W.
  • Como calculado, W\approx -365{,}63\\ \mathrm{J}. Portanto
Q\approx -365{,}63\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: Q<0 significa que o sistema (o gás) perdeu calor para o ambiente; ou seja, o gás cede aproximadamente 365{,}6\\ \mathrm{J} ao ambiente.
  • Em termos do trabalho realizado sobre o gás: como W_{\text{sobre}}\approx +365{,}6\\ \mathrm{J}, esse valor de energia saiu do gás na forma de calor para manter a temperatura constante.

Resposta

(a) Trabalho necessário (realizado sobre o gás): W_{\text{sobre}}\approx +365{,}6\\ \mathrm{J}
(b) Sim. O gás troca calor com o ambiente: libera Q\approx 365{,}6\\ \mathrm{J} para o ambiente (ou seja, Q\approx -365{,}6\\ \mathrm{J} do ponto de vista do gás).
(c) Variação da energia interna: \Delta U=0.

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