1. O volume de um sistema é dado em função da temperatura pela igualdade
V=V_{0} e^{3 \times 10^{-3} T}
Determine o coeficiente de dilatação linear desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá a variação do volume em função da temperatura e pede o coeficiente de dilatação linear. Dados fornecidos:
  • A expressão do volume é V = V_{0} e^{3 \times 10^{-3} T}.
  • Pedido: determinar o coeficiente de dilatação linear (denotado por \alpha) do sistema.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que são os coeficientes de dilatação:
  • O coeficiente de dilatação volumétrica (ou cúbica) \beta é definido como a variação relativa do volume por unidade de temperatura:
\beta=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}.
Isto significa: se a temperatura aumenta \Delta T pequeno, a mudança relativa do volume é aproximadamente \Delta V/V\approx \beta\,\Delta T.

Passo 3

Agora o coeficiente de dilatação linear \alpha está relacionado com \beta. Para um corpo isotrópico (expande igualmente em todas as direções) vale, para pequenas variações,
\beta \approx 3\alpha.
Aqui uma justificativa simples: para um cubo de lado L tem-se V=L^{3}. Diferenciando (para pequenas variações) obtemos dV\approx 3L^{2}dL, logo
\frac{dV}{V}\approx 3\frac{dL}{L},
o que leva a \beta=3\alpha.

Passo 4

Calculemos \beta a partir da função V(T). Defina k=3\times10^{-3}. Temos
V=V_{0}e^{kT}.
Derivando em relação a T:
\frac{dV}{dT}=k\,V_{0}e^{kT}=kV.
Logo, usando a definição de \beta,
\beta=\frac{1}{V}\frac{dV}{dT}=k=3\times10^{-3}.

Passo 5

Finalmente, usando \beta=3\alpha, isolamos \alpha:
\alpha=\frac{\beta}{3}=\frac{3\times10^{-3}}{3}=1\times10^{-3}.
Em unidades práticas isso é \alpha=1\times10^{-3}\\ \text{K}^{-1} (ou \,^\circ\text{C}^{-1}).

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: para um aumento de temperatura de 10\\ \text{K}, a variação relativa linear prevista seria \Delta L/L\approx \alpha\,\Delta T = 1\times10^{-3}\times10=0{,}01, ou seja 1\%. Isso dá uma intuição de ordem de grandeza.

Resposta

\alpha = 1\times10^{-3}\\ \text{K}^{-1}

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