- O volume de um sistema é dado em função da temperatura pela igualdade
Determine o coeficiente de dilatação linear desse sistema.
Passo 1
O enunciado dá a variação do volume em função da temperatura e pede o coeficiente de dilatação linear. Dados fornecidos:
- A expressão do volume é
- Pedido: determinar o coeficiente de dilatação linear (denotado por
) do sistema.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que são os coeficientes de dilatação:
- O coeficiente de dilatação volumétrica (ou cúbica)
é definido como a variação relativa do volume por unidade de temperatura:
Isto significa: se a temperatura aumenta
pequeno, a mudança relativa do volume é aproximadamente
.
Passo 3
Agora o coeficiente de dilatação linear
está relacionado com
. Para um corpo isotrópico (expande igualmente em todas as direções) vale, para pequenas variações,
Aqui uma justificativa simples: para um cubo de lado
tem-se
. Diferenciando (para pequenas variações) obtemos
, logo
o que leva a
.
Passo 4
Calculemos
a partir da função
. Defina
. Temos
Derivando em relação a
:
Logo, usando a definição de
,
Passo 5
Finalmente, usando
, isolamos
:
Em unidades práticas isso é
(ou
).
Passo 6
Interpretação rápida e checagem: para um aumento de temperatura de
, a variação relativa linear prevista seria
, ou seja
. Isso dá uma intuição de ordem de grandeza.