Considerar el complejo: z=2 t^2451+i raiz3. Sea z1=a+i raiz3; determinar a in R para que z z1 in R.

Passo 1

El enunciado nos da el número complejo z=2,t^2451+iraiz3 y otro z1=a+iraiz3. El objetivo es encontrar ainR de modo que el producto zcdot z1 sea un número real. Vamos a usar operaciones con números complejos y la condición de que la parte imaginaria del producto sea cero.

Passo 2

Primero simplificamos z racionalizando el denominador. Observa que 1+iraiz3=2e^ipi/3, luego
11+iraiz3=12e^-ipi/3=12l(cos(-tfracpi3)+isin(-tfracpi3)r)=12-iraiz32
De esto se sigue
z=2,t^245l(tfrac12-itfracraiz32r)=t^245l(tfrac12-itfracraiz32r)=underbracet^2452alpha-iunderbraceraiz3t^2452beta

Passo 3

Ahora escribimos el producto zcdot z1:
z,z1=(alpha-ibeta)(a+iraiz3)=alpha a+betaraiz3+il(alpharaiz3-beta ar)

Passo 4

Para que z,z1 sea real, la parte imaginaria debe anularse:
alpharaiz3-beta a=0Longrightarrow a=alpharaiz3beta

Passo 5

Como alpha=tfract^2452 y beta=tfracraiz3,t^2452, se tiene
a=(t^245/2)raiz3(raiz3,t^245/2)=1, siempre que t^245neq0.

Resposta

a=1

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