Considerar la función g: R R ; g(x)=x^2-7 x+10.
a. Hallar la o las rectas paralelas a la recta de ecuación y=x, tangentes a la gráfica de g.

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática g: RtoR, g(x)=x^2-7x+10, e pede as retas paralelas a y=x (isto é, com coeficiente angular 1) que sejam tangentes à sua parábola. Para resolver, vamos usar o conceito de derivada para igualar coeficientes angulares e depois obter a reta.

Passo 2

A teoria diz que a reta tangente a uma função num ponto a tem coeficiente angular dado por g'(a). Como queremos retas de inclinação 1, impomos
g'(a)=1

Passo 3

Calculamos a derivada de g:
g(x)=2x-7

Passo 4

Logo
2a-7=1Longrightarrow a=4
Esse valor a=4 é o abscissa do ponto de tangência. Agora achamos a ordenada substituindo em g(x):
g(4)=4^2-7cdot4+10=16-28+10=-2

Passo 5

Assim, o ponto de tangência é (4,-2). Agora escrevemos a reta de coeficiente 1 que passa por ele:
y-(-2)=1,(x-4)Longrightarrow y=x-6

Passo 6

Concluímos que existe exatamente uma reta paralela a y=x e tangente à parábola, que é y=x-6.

Resposta

A única reta é y=x-6.

Exercícios relacionados