Como considerar uma placa plana de um coletor solar, tal como um canalização de diâmetro interno de 10 mm soldado na parte posterior de uma placa a uma temperatura uniforme de 70°C. Se a água entra no tubo a uma temperatura de 29°C e com uma vazão de 0,01 kg/s, quais são a temperatura de saída e a taxa total de calor para o tubo? Considere as propriedades da água constantes:
cp = 4,18 kg/kg/k
μ = 577 * 10^-6 Ns/m^2
Dados:
D = 10 mm
L = 8 m

Passo 1

O enunciado dá um coletor solar composto por uma placa mantida a uma temperatura uniforme T_s=70\,^\circ\mathrm{C}, cuja parte posterior está soldada a um tubo de diâmetro interno D=10\;\mathrm{mm} e comprimento L=8\;\mathrm m. A água entra no tubo a T_{\mathrm{in}}=29\,^\circ\mathrm{C} com vazão mássica \dot m=0{,}01\;\mathrm{kg/s}. Pede-se a temperatura de saída T_{\mathrm{out}} e a taxa total de calor Q no tubo. O conteúdo da matéria envolve escoamento interno, coeficiente convectivo e balanço de energia unidimensional.

Passo 2

Determinar o regime de escoamento e a velocidade média interna. Assumimos densidade da água \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3}.
A área da seção transversal é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}01)^2}{4} \approx 7{,}85\times10^{-5}\;\mathrm{m^2}.
A velocidade média é
u = \frac{\dot m}{\rho\,A} = \frac{0{,}01}{1000 \times 7{,}85\times10^{-5}} \approx 0{,}127\;\mathrm{m/s}.
O número de Reynolds vale
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,u\,D}{\mu} = \frac{1000 \times 0{,}127 \times 0{,}01}{577\times10^{-6}} \approx 2208,
logo o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}<2300).

Passo 3

Para escoamento laminar totalmente desenvolvido em tubo circular com parede a temperatura constante utiliza-se
\mathrm{Nu} = 3{,}66.
Assumindo condutividade térmica da água k\approx0{,}6\;\mathrm{W/m\,K}, o coeficiente convectivo interno é
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{3{,}66 \times 0{,}6}{0{,}01} \approx 220\;\mathrm{W/m^2\,K}.

Passo 4

Aplicamos o balanço de energia unidimensional para uma faixa diferencial dx do tubo, onde a placa (ou tubo) está a T_s constante:
\dot m\,c_p\,\frac{dT}{dx} = h\,P\,(T_s - T),
em que P=\pi D é o perímetro molhado. Separando e integrando de x=0 (entrada, T=T_{\mathrm{in}}) até x=L (saída, T=T_{\mathrm{out}}), obtém-se
T_{\mathrm{out}} = T_s - \bigl(T_s - T_{\mathrm{in}}\bigr) \exp\!\Bigl(-\frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p}\Bigr).

Passo 5

Calculamos primeiro o fator
P = \pi D = \pi\times0{,}01 \approx 0{,}0314\;\mathrm m, \quad \frac{h\,P\,L}{\dot m\,c_p} = \frac{220 \times 0{,}0314 \times 8}{0{,}01 \times 4180} \approx 1{,}32.
Assim
T_{\mathrm{out}} = 70 - (70 - 29)\,e^{-1{,}32} \approx 70 - 41\times0{,}267 \approx 59{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
A taxa total de calor transferida é
Q = \dot m\,c_p\,(T_{\mathrm{out}} - T_{\mathrm{in}}) = 0{,}01 \times 4180 \times (59{,}0 - 29) \approx 1256\;\mathrm W.

Resposta

Temperatura de saída: T_{\mathrm{out}}\approx59{,}0\,^\circ\mathrm{C}.
Taxa total de calor: Q\approx1{,}26\;\mathrm{kW}.

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