Considerar os seguintes conjuntos de vectores de V4. Para cada alinea determinar um subconjunto linearmente independente contendo o maior número de vectores possivel. (a) (1,0,1,0),(1,1,1,1),(0,1,0,1),(2,0,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede um subconjunto de máximo tamanho dos vetores
;(1,0,1,0),;(1,1,1,1),;(0,1,0,1),;(2,0,-1,0)in V4
que seja linearmente independente. Vamos usar eliminação de Gauss para ver a dimensão do espaço gerado e escolher um conjunto de pivôs.

Passo 2

Organizamos esses vetores como linhas de uma matriz e aplicamos operações elementares:
1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 1 2 & 0 & -1 & 0
R2 to R2–R1, R4 to R4–2R1, R3 to R3–R2 resulta em
1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & -3 & 0 !

Passo 3

Dessa forma aparecem pivôs nas colunas 1, 2 e 3, logo o posto da matriz é
rank=3

Passo 4

Como o posto é 3, só é possível ter no máximo três vetores independentes. Os pivôs correspondem às colunas 1,2,3 das linhas originais, ou seja, aos vetores
v1=(1,0,1,0), v2=(1,1,1,1), v4=(2,0,-1,0)
Esses três são linearmente independentes, pois não há combinação não-trivial que os anule (cada pivô impõe coeficiente zero).

Resposta

(1,0,1,0),,(1,1,1,1),,(2,0,-1,0)

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