Dado três vectores linearmente independentes A, B, C de Vn. (b) Dizer se são ou não corretas cada uma das proposições seguintes. A-B, B+C, A+C são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C são três vetores linearmente independentes em um espaço vetorial Vn. A pergunta (b) é: será que os vetores
A-B, B+C, A+C
também são linearmente independentes?

Passo 2

Para testar independência, suponhamos que exista combinação linear
alpha,(A-B) ;+;beta,(B+C);+;gamma,(A+C);=;0
com escalares alpha,beta,gamma. Vamos reescrever essa soma reunindo termos em A, B e C.

Passo 3

Expandindo, temos
alpha A - alpha B ;+;beta B + beta C ;+;gamma A + gamma C ;=; (alpha+gamma),A ;+;(-alpha+beta),B ;+;(beta+gamma),C ;=;0

Passo 4

Como
Da segunda equação . A terceira então é , que já está satisfeita. Logo existe solução não trivial, por exemplo .

Passo 5

Encontramos a relação não trivial
1cdot(A-B) ;+;1cdot(B+C);+;(-1)cdot(A+C) ;=;0,
portanto esses três vetores são linearmente dependentes.

Resposta

A proposição é falsa: A-B,;B+C,;A+C não são linearmente independentes.

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