Dado três vectores linearmente independentes
de
. (b) Dizer se são ou não corretas cada uma das proposições seguintes.
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado diz que
são três vetores linearmente independentes em um espaço vetorial
. A pergunta (b) é: será que os vetores
também são linearmente independentes?
Passo 2
Para testar independência, suponhamos que exista combinação linear
com escalares
. Vamos reescrever essa soma reunindo termos em
,
e
.
Passo 3
Expandindo, temos
Passo 4
Como
Da segunda equação . A terceira então é
, que já está satisfeita. Logo existe solução não trivial, por exemplo
.
Passo 5
Encontramos a relação não trivial
portanto esses três vetores são linearmente dependentes.
Resposta
A proposição é falsa:
não são linearmente independentes.