Considerar os seguintes conjuntos de vectores em V3 : S=(1,1,1),(0,1,2),(1,0,-1), T=(2,1,0),(2,0,-2), U=(1,2,3),(1,3,5) (b) Determinar todas as relações de inclusão entre os conjuntos çõãL(S), L(T) e L(U)$.

Passo 1

Resumindo, temos os conjuntos de vetores
S=(1,1,1),(0,1,2),(1,0,-1), T=(2,1,0),(2,0,-2), U=(1,2,3),(1,3,5)
no espaço vetorial V3. A missão é comparar os subespaços gerados L(S), L(T) e L(U), isto é, suas spans, verificando dimensões e inclusões.

Passo 2

Vamos achar dim L(S). Note que em S vale
(1,1,1) ;=;(0,1,2)+(1,0,-1),
logo os três vetores são linearmente dependentes e basta gerar L(S) por (0,1,2),(1,0,-1). Portanto
dim L(S)=2

Passo 3

Mostramos que Tsubseteq L(S). Para (2,1,0) procuramos escalar a,b tais que
a,(0,1,2);+;b,(1,0,-1);=;(2,1,0)
Pelas componentes vem b=2, a=1 e 2a-b=0, satisfazendo o sistema. De modo análogo (2,0,-2) também se encaixa em L(S). Como dim L(T)=2=dim L(S), concluímos
L(T)=L(S)

Passo 4

Fazemos o mesmo para U. Para (1,2,3) achamos
a,(0,1,2)+b,(1,0,-1)=(1,2,3)
com b=1, a=2 e 2a-b=3. E (1,3,5) segue igual. Assim ,L(U)subseteq L(S) e, pela igualdade de dimensões,
L(U)=L(S)

Resposta

L(S)=L(T)=L(U).

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