Considerar os seguintes conjuntos de vectores de V4. Para cada alinea determinar um subconjunto linearmente independente contendo o maior número de vectores possivel. (b) (1,1,1,1),(1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(1,-1,-1,-1).

Passo 1

Temos o conjunto de vetores
v1,v2,v3,v4subset V4, onde
v1=(1,1,1,1),; v2=(1,-1,1,1),; v3=(1,-1,-1,1),; v4=(1,-1,-1,-1)
Queremos extrair um subconjunto linearmente independente de maior cardinalidade, ou seja, determinar o posto desse conjunto. Faremos eliminação de Gauss numa matriz cujas linhas são v1,v2,v3,v4.

Passo 2

Formamos a matriz
A= 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 & -1
Subtraindo a primeira linha de cada uma das demais ( Ri Ri-R1 para i=2,3,4), obtemos
1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 0 & -2 & -2 & 0 0 & -2 & -2 & -2

Passo 3

Com pivô em R2 na coluna 2, fazemos
R3 R3-R2 e R4 R4-R2, resultando em
1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & -2 & -2
Em seguida, com pivô em R3 na coluna 3, aplicamos
R4 R4-R3, chegando a
1 & 1 & 1 & 1 0 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2

Passo 4

A matriz está em forma escalonada com pivôs não nulos em todas as quatro colunas, logo o posto é 4. Como o espaço V4 tem dimensão 4, concluímos que os quatro vetores são linearmente independentes.

Resposta

O subconjunto linearmente independente de maior tamanho é o próprio conjunto original:
(1,1,1,1),,(1,-1,1,1),,(1,-1,-1,1),,(1,-1,-1,-1)

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