(a) Provar que os seguintes três vectores de V3 são linearmente independentes: (raiz3, 1,0), (1. raiz3, 1),(0,1, raiz3).

Passo 1

Temos três vetores em V3:
v1=(raiz3,1,0), v2=(1,raiz3,1), v3=(0,1,raiz3)
O que queremos é mostrar que eles são linearmente independentes, ou seja, que a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial. Para isso, vamos usar o método de igualar uma combinação qualquer a zero e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Considere uma combinação linear que dê o vetor nulo:
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3=(0,0,0)
Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
alpharaiz3+beta+0cdotgamma=0, alpha+ betaraiz3+gamma=0, 0cdotalpha+beta+gammaraiz3=0

Passo 3

Da primeira equação segue
beta=-alpharaiz3
Da terceira equação segue
beta+gammaraiz3=0 Longrightarrow gamma=-betaraiz3=alpharaiz3raiz3=alpha
Substituindo beta e gamma na segunda equação:
alpha+(-alpharaiz3)raiz3+alpha =alpha-3alpha+alpha=-alpha=0 Longrightarrow alpha=0

Passo 4

Como alpha=0, das fórmulas acima vem também beta=0 e gamma=0. Logo a única solução do sistema é a trivial.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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