Sejam
e
dois subconjuntos finitos de vectores num espaço vectorial
, e sejam
e
os respetivos subespaços lineares. (b)
.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois subconjuntos finitos
e
de um espaço vetorial
. Denotamos por
e
os subespaços gerados (spans) de
e de
. Queremos mostrar a inclusão
Para isso, vamos usar a definição de subespaço gerado: um vetor pertence a
se, e somente se, ele é combinação linear de vetores de
.
Passo 2
Seja
um vetor arbitrário em
. Pela definição de span, existe um inteiro
, escalares
e vetores
tais que cada
e
Passo 3
Como cada
está em
, temos de um lado
para todo
. Logo a mesma combinação linear prova que
. De igual modo,
para todo
, o que implica
. Assim
portanto
Passo 4
Mostramos que qualquer vetor
também pertence a
. Essa propriedade vale para vetor arbitrário, logo
Resposta
A inclusão está demonstrada.