Sejam A e B dois subconjuntos finitos de vectores num espaço vectorial Vn, e sejam L(A) e L(B) os respetivos subespaços lineares. (b) L(A cap B) subseteq L(A) cap L(B).

Passo 1

O enunciado diz que temos dois subconjuntos finitos A e B de um espaço vetorial Vn. Denotamos por L(A) e L(B) os subespaços gerados (spans) de A e de B. Queremos mostrar a inclusão
L(Acap B)subseteq L(A)cap L(B)
Para isso, vamos usar a definição de subespaço gerado: um vetor pertence a L(X) se, e somente se, ele é combinação linear de vetores de X.

Passo 2

Seja v um vetor arbitrário em L(Acap B). Pela definição de span, existe um inteiro k, escalares alpha1,dots,alphak e vetores x1,dots,xk tais que cada xiin Acap B e
v=sumi=1^k alphai,xi

Passo 3

Como cada xi está em Acap B, temos de um lado xiin A para todo i. Logo a mesma combinação linear prova que vin L(A). De igual modo, xiin B para todo i, o que implica vin L(B). Assim
vin L(A)e vin L(B)
portanto
vin L(A)cap L(B)

Passo 4

Mostramos que qualquer vetor vin L(Acap B) também pertence a L(A)cap L(B). Essa propriedade vale para vetor arbitrário, logo
L(Acap B)subseteq L(A)cap L(B)

Resposta

A inclusão está demonstrada.

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