Seja e três vectores de . (c) Obter um vector tal que sejam independentes.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
em e pede um vetor tal que seja conjunto linearmente independente. Vamos usar o fato de que já são independentes (dimensão do subespaço que geram é 3) e basta escolher fora desse subespaço.
Passo 2
Uma escolha simples é tomar o quarto vetor da base canônica de , isto é
Agora vamos mostrar que não existe combinação linear de que produza .
Passo 3
Suponha, por absurdo, que existam escalares tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Passo 4
Da última equação vem y=1. Da terceira temos x+y=0implies x=-1. Da primeira então x+z=0implies z=1. Mas na segunda ficaríamos com
x+y+z = (-1)+1+1 = 1 neq 0,
contradição. Logo não há solução, ou seja, E não está em SpanA,B,C e, portanto, A,B,C,E é linearmente independente.