Seja A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1) e C=(1,1,0,0) três vectores de V4. (c) Obter um vector E tal que A, B, C, E sejam independentes.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
A=(1,1,1,0), B=(0,1,1,1), C=(1,1,0,0)
em V4 e pede um vetor E tal que A,B,C,E seja conjunto linearmente independente. Vamos usar o fato de que A,B,C já são independentes (dimensão do subespaço que geram é 3) e basta escolher E fora desse subespaço.

Passo 2

Uma escolha simples é tomar o quarto vetor da base canônica de R^4, isto é
E=(0,0,0,1)
Agora vamos mostrar que não existe combinação linear de A,B,C que produza E.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que existam escalares x,y,z tais que
xA + yB + zC = E
Escrevendo coordenada a coordenada:
x + 0y + z = 0, x + y + z = 0, x + y + 0z = 0, 0x + y + 0z = 1

Passo 4

Da última equação vem y=1. Da terceira temos x+y=0implies x=-1. Da primeira então x+z=0implies z=1. Mas na segunda ficaríamos com
x+y+z = (-1)+1+1 = 1 neq 0,
contradição. Logo não há solução, ou seja, E não está em SpanA,B,C e, portanto, A,B,C,E é linearmente independente.

Resposta

,E=(0,0,0,1)

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