Dado três vectores linearmente independentes A, B, C de Vn. (a) Dizer se são ou não corretas cada uma das proposições seguintes. A+B, B+C, A+C são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores ,A,B,Cin Vn que são linearmente independentes e pergunta se o conjunto
,A+B,;B+C,;A+C
é também linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto v1,v2,v3 é independente se a única combinação
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
que dá o vetor nulo é alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,(A+B);+;beta,(B+C);+;gamma,(A+C);=;0
Vamos agrupar as parcelas em A, B e C.

Passo 3

Expandindo e agrupando, obtemos
l(alpha+gammar)A ;+;l(alpha+betar)B;+;l(beta+gammar)C;=;0
Como A,B,C são independentes, cada coeficiente deve ser zero, gerando o sistema
alpha + gamma = 0, alpha + beta = 0, beta + gamma = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema: da segunda equação vem beta=-alpha; da primeira, gamma=-alpha. Substituindo na terceira:
beta+gamma = -alpha +(-alpha) = -2alpha = 0 ;Longrightarrow; alpha=0,
e daí beta=gamma=0. Logo a única solução é alpha=beta=gamma=0.

Resposta

A proposição é verdadeira: os vetores A+B, B+C e A+C são linearmente independentes.

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