Dado três vectores linearmente independentes
de
. (a) Dizer se são ou não corretas cada uma das proposições seguintes.
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
que são linearmente independentes e pergunta se o conjunto
é também linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto
é independente se a única combinação
que dá o vetor nulo é
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Vamos agrupar as parcelas em
,
e
.
Passo 3
Expandindo e agrupando, obtemos
Como
são independentes, cada coeficiente deve ser zero, gerando o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema: da segunda equação vem
beta=-alpha ; da primeira,
gamma=-alpha . Substituindo na terceira:
e daí
beta=gamma=0 . Logo a única solução é
alpha=beta=gamma=0 .
Resposta
A proposição é verdadeira: os vetores
A+B ,
B+C e
A+C são linearmente independentes.