Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo
Passo 1
O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis incógnitas:
Conteúdo: encontrar o núcleo (nullspace) de uma matriz pelo método de eliminação de Gauss e determinar sua dimensão (número de variáveis livres).
Passo 2
Montamos a matriz ampliada e eliminamos
x1 das equações
2 e
4 , subtraindo duas vezes a equação
1 :
Passo 3
Note que a equação (
3 ) é
5 vezes (
2 ’), logo é redundante. Subtraindo
4 cdot (
2 ’) de (
4 ’) obtemos
Substituindo
x6=0 em (
2 ’) dá
Passo 4
Agora voltamos à equação (
1 ) para expressar
x1 :
Passo 5
As variáveis livres são
x2,x4,x5 . Definimos parâmetros
e já temos
x3=-2t ,
x6=0 ,
x1=-3s-4t-2u . Logo a solução geral é
Passo 6
Os vetores que formam uma base do espaço solução são
Como há três parâmetros livres, a dimensão do espaço solução é
3 .
Resposta
A base do espaço solução é
e sua dimensão é
3 .