Encontre uma base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo
r x1+3 x2-2 x3+2 x5=0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6=0 5 x3+10 x4+15 x6=0 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6=0

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo de quatro equações lineares em seis incógnitas:
Conteúdo: encontrar o núcleo (nullspace) de uma matriz pelo método de eliminação de Gauss e determinar sua dimensão (número de variáveis livres).

Passo 2

Montamos a matriz ampliada e eliminamos x1 das equações 2 e 4, subtraindo duas vezes a equação 1:
(1)&;;x1+3x2-2x3+0x4+2x5+0x6=0, (2')&;;0x1+0x2-x3-2x4+0x5-3x6=0, (3)&;;0x1+0x2+5x3+10x4+0x5+15x6=0, (4')&;;0x1+0x2+4x3+8x4+0x5+18x6=0

Passo 3

Note que a equação ( 3) é 5 vezes ( 2’), logo é redundante. Subtraindo 4 cdot ( 2’) de ( 4’) obtemos
6x6=0Longrightarrow x6=0
Substituindo x6=0 em ( 2’) dá
x3+2x4=0Longrightarrow x3=-2x4

Passo 4

Agora voltamos à equação ( 1) para expressar x1:
x1=-3x2+2x3-2x5 =-3x2+2(-2x4)-2x5 =-3x2-4x4-2x5

Passo 5

As variáveis livres são x2,x4,x5. Definimos parâmetros
x2=s, x4=t, x5=u,
e já temos x3=-2t, x6=0, x1=-3s-4t-2u. Logo a solução geral é
(x1,x2,x3,x4,x5,x6) =s(-3,1,0,0,0,0) +,t(-4,0,-2,1,0,0) +,u(-2,0,0,0,1,0)

Passo 6

Os vetores que formam uma base do espaço solução são
v1=-310000, v2=-40-2100, v3=-200010
Como há três parâmetros livres, a dimensão do espaço solução é 3.

Resposta

A base do espaço solução é
l -310000,, -40-2100,, -200010 r,
e sua dimensão é 3.

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