Considerar o sinal seguinte:
x(t)= A & |t| <= T2 0 & |t|>T2
Determinar e representar o espectro de energia do sinal

Passo 1

O enunciado define um pulso retangular de amplitude
Queremos determinar o espectro de energia do sinal, isto é, a densidade espectral de energia é a Transformada de Fourier de .

Passo 2

Aplicamos a definição da Transformada de Fourier contínua:
X(omega)=integral-infty^inftyx(t)e^-, jomega t, dt =integral-T/2^T/2A,e^-, jomega t, dt
Como fora do pulso x(t)=0, integramos só de -T/2 a T/2.

Passo 3

Calculemos a integral:
X(omega) = A[e^-, jomega t-, jomega]-T/2^T/2 = Ae^-, jomega (T/2) - e^ jomega (T/2)-, jomega = A;2sin!l(omega T/2r)omega

Passo 4

Reconhecemos a função sinc. Definindo
sinc(x)=sin xx,
podemos reescrever
X(omega) = A,T;sinc!l(tfracomega T2r)

Passo 5

A densidade espectral de energia é
Sx(omega)=lvert X(omega)rvert^2 = l(A,2sin(omega T/2)omegar)^2 = A^2T^2,sinc^2!l(tfracomega T2r)

Passo 6

No gráfico de Sx(omega) versus omega:
  • Zero central (lóbulo principal) em omega=0 com valor máximo A^2T^2.
  • Primeiros zeros em omega=pm2piT, pois sin(omega T/2)=0 quando omega T/2=kpi, k=pm1, pm2,dots.
  • Lóbulos secundários decaindo conforme omega aumenta, obedecendo sinc^2.

Resposta

Sx(omega) = A^2T^2,sinc^2!l(tfracomega T2r)

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