Considerar um SLIT caracterizado pela equação diferencial de 2^ a ordem:
d^2 y(t)d t^2+4 d y(t)d t+3 y(t)=d x(t)d t+2 x(t)
Determinar a resposta (em frequência) ao impulso do sistema.

Passo 1

O exercício nos dá um sistema LTI descrito pela equação diferencial de segunda ordem
d^2y(t)dt^2 + 4,dy(t)dt + 3,y(t) = d x(t)dt + 2,x(t)
E nos pede a resposta em frequência ao impulso, ou seja, o frequency response
H(jomega)=Y(jomega)X(jomega)
Para isso vamos aplicar a transformada de Fourier, usando a propriedade
dfracd^ndt^nrightarrow (jomega)^n.

Passo 2

Aplicando a transformada de Fourier em cada termo obtenho
(jomega)^2,Y(jomega) + 4,(jomega),Y(jomega) + 3,Y(jomega) ;=;(jomega),X(jomega) + 2,X(jomega)
Em seguida fatoro Y(jomega) no lado esquerdo e X(jomega) no lado direito.

Passo 3

Isolando a razão Y(jomega)/X(jomega) chegamos à expressão do frequency response:
H(jomega) =Y(jomega)X(jomega) =jomega + 2(jomega)^2 + 4,jomega + 3

Passo 4

Para expor o denominador em termos real e imaginário, note que
(jomega)^2 + 4,jomega + 3 = -omega^2 + 3 + j,4omega

Resposta

H(jomega) =jomega + 2-,omega^2 + 3 ;+; j,4omega ;=; jomega + 23 - omega^2 + j,4omega

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