Determinar a resposta y(t) de um SLIT ao sinal de entrada x(t)=e^-b t u(t), b>0 e cuja resposta ao impulso h(t)=e^-a t u(t), a>0. (Sugestão: faça uso das propriedades da transformada de Fourier.)
Nota: u(t) é o sinal degrau unitário.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=e^-a tu(t), a>0
e o sinal de entrada é
x(t)=e^-b tu(t), b>0
Queremos determinar a saída y(t)=x*h usando a propriedade de multiplicação na frequência:
Y(omega)=H(omega),X(omega),
seguida de inversão da transformada de Fourier.

Passo 2

Calculamos as transformadas de Fourier de x(t) e de h(t). É conhecido que
Fe^-c tu(t)=1c+iomega, Rec>0
Logo
X(omega)=1b+iomega, H(omega)=1a+iomega

Passo 3

Multiplicamos para obter
Y(omega)=H(omega),X(omega) =1(a+iomega)(b+iomega)
Para o caso aneq b fazemos fração parcial:
1(a+iomega)(b+iomega) =1b-al(1a+iomega-1b+iomegar)

Passo 4

Invertemos a transformada termo a termo, sabendo que
F^-1l1c+iomegar =e^-c tu(t)
Para aneq b obtemos
y(t) =1b-al(e^-a t-e^-b tr)u(t)

Passo 5

No caso limite a=b, temos
Y(omega)=1(a+iomega)^2,
cuja inversa é
y(t)=t,e^-a tu(t)

Resposta

Para aneq b:
y(t)=e^-a t-e^-b tb-a,u(t)
Para a=b:
y(t)=t,e^-a t,u(t)

Exercícios relacionados