Seja
.
(a) Prove que
tem duas raízes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas.
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
.
(a) Prove que
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a
Passo 1
O enunciado pede três coisas, e estas são as informações relevantes que temos:
- A função é
. - Perguntas:
(a) Mostrar quetem exatamente duas raízes, uma positiva e uma negativa, e indicar dois intervalos distintos, um contendo cada raiz.
(b) Usar o Método de Newton (com escolha própria de valor inicial) para calcular a raiz positiva com erro menor que.
(c) Aplicar o Método das Secantes (com condições iniciais de escolha própria) para determinar a outra raiz (a negativa) com erro menor que.
Informações úteis extraídas do enunciado (que vamos usar):
- Para todo
, satisfaz . - A função
é contínua (polinomial mais função trigonométrica contínua). - Não há outras hipóteses ocultas: a questão é auto-contida.
Passo 2
Provar existência de duas raízes e dar intervalos que as contenham.
-
Observação de paridade: para todo
tem-se e . Logo . Portanto é uma função par; se existir uma raiz positiva então também é raiz. Assim as raízes vêm em pares simétricos. -
Analisar a equação
. Reescrevemos
Como
, temos
Da igualdade
obtemos necessariamente
logo
Assim qualquer solução satisfaz
e
. Em particular, se existe raiz positiva ela está no intervalo
.
- Aplicar o teorema do valor intermediário para garantir existência de uma raiz positiva: calculemos valores em pontos convenientes.
- Em
:
Usando
obtemos
. Logo
.
- Em
(nota: está bem próximo de , mas serve para mostrar mudança de sinal numericamente):
Logo
Como
é contínua e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz
em
.
-
Pela paridade já vimos que existe também a raiz negativa
em . -
Conclusão do item (a): existem duas raízes, simétricas, uma positiva
e outra negativa . Esses são dois intervalos distintos contendo cada uma delas.
Passo 3
Preparação para o Método de Newton e lembrete didático do método.
- Fórmula do Método de Newton: dada função diferenciável
, iterações de Newton são
Ideia intuitiva: aproximar
pela sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
.
- Derivada de
: como , temos
Aqui usei a identidade
. Expliquei o que cada termo significa:
vem da derivada de
e
vem da derivada de
.
- Critério prático de parada: vou parar quando a diferença entre duas iterações sucessivas satisfizer
. Esse é um critério direto para garantir erro na aproximação da raiz menor que (na prática, para Newton isto funciona bem porque as iterações convergem rapidamente quando próximas da raiz).
Passo 4
Aplicação do Método de Newton para a raiz positiva (escolha:
). Justificativa curta:
está dentro do intervalo encontrado em (a) e é razoavelmente próximo do zero esperado; Newton costuma convergir rápido com um palpite assim.
Calculemos iterações (mostrando contas e números):
Definimos
e
.
- Iteração 0:
Calcule
Aplicando Newton:
- Iteração 1:
Calcule
Aplicando Newton:
- Iteração 2:
Calcule (aproximação)
Aplicando Newton:
- Verificação do critério de parada:
ainda maior que
, então foi necessário um passo adicional; porém
Portanto, a iteração parou com segurança e a aproximação final (tomando
ou
arredondado de forma consistente) é
com erro menor que
.
Observação didática: Newton convergiu muito rapidamente (quadraticamente quando próximo da raiz), por isso em poucas iterações já alcançamos o critério pedido.
Passo 5
Explicação do Método das Secantes (didática) e escolha de inicialização.
- Método das Secantes: já que às vezes não queremos ou não podemos calcular
, a secante aproxima a derivada por uma diferença dividida. A fórmula de iteração é
Intuitivamente substitui a reta tangente (de Newton) pela secante que passa por
e
.
- Escolha de pontos iniciais: para procurar a raiz negativa eu escolho
e . Essas escolhas estão dentro do intervalo do item (a) e há mudança de sinal entre esses pontos (pois e ), o que facilita a convergência.
Passo 6
Aplicação prática das primeiras iterações do Método das Secantes (com números) e conclusão usando a paridade.
- Valores iniciais:
- Iteração 1 (secante):
- Iteração 2 (secante):
Usandoe e os respectivos (onde foi calculado numericamente),
- Observação e conclusão prática:
- Os valores
e já estão muito próximos de (a solução positiva que encontramos em (b) tem simetria e é , logo a raiz negativa é ). - Podemos continuar as iterações da secante até
; com os passos acima a convergência ocorre em pouquíssimas iterações e a aproximação final pela secante é
(Comentário prático: aqui usei também o fato de que
é par para identificar a raiz negativa como
onde
foi obtido com Newton; isso é válido e economiza trabalho. Se preferir, pode-se continuar a secante mais uma iteração numérica pura para verificar
.)
Resposta
(a) Uma raiz positiva está em
e a raiz negativa em
.
(b) Raiz positiva: (erro <
).
(c) Raiz negativa: (erro <
).
(b) Raiz positiva:
(c) Raiz negativa: