Seja f(x)=x^{2}-4+(\operatorname{sen} x)^{2}.
(a) Prove que f tem duas raízes, uma positiva e uma negativa e determine dois intervalos distintos contendo cada uma delas.
(b) Usando o Método de Newton, com o valor inicial de sua escolha, calcule a raiz positiva com erro inferior a 10^{-5}.
(c) Aplique o Método das Secantes, com as condições iniciais de sua escolha, e determine a outra raiz negativa, com erro inferior a 10^{-5}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas, e estas são as informações relevantes que temos:
  • A função é f(x)=x^{2}-4+(\sin x)^{2}.
  • Perguntas:
    (a) Mostrar que f tem exatamente duas raízes, uma positiva e uma negativa, e indicar dois intervalos distintos, um contendo cada raiz.
    (b) Usar o Método de Newton (com escolha própria de valor inicial) para calcular a raiz positiva com erro menor que 10^{-5}.
    (c) Aplicar o Método das Secantes (com condições iniciais de escolha própria) para determinar a outra raiz (a negativa) com erro menor que 10^{-5}.
Informações úteis extraídas do enunciado (que vamos usar):
  • Para todo x, (\sin x)^{2} satisfaz 0\le (\sin x)^{2}\le1.
  • A função f é contínua (polinomial mais função trigonométrica contínua).
  • Não há outras hipóteses ocultas: a questão é auto-contida.

Passo 2

Provar existência de duas raízes e dar intervalos que as contenham.
  1. Observação de paridade: para todo x tem-se (\sin(-x))^{2}=(\sin x)^{2} e (-x)^{2}=x^{2}. Logo f(-x)=f(x). Portanto f é uma função par; se existir uma raiz positiva r>0 então -r também é raiz. Assim as raízes vêm em pares simétricos.
  2. Analisar a equação f(x)=0. Reescrevemos
f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+(\sin x)^{2}=4.
Como 0\le(\sin x)^{2}\le1, temos
3 \le x^{2}+(\sin x)^{2}\le x^{2}+1.
Da igualdade x^{2}+(\sin x)^{2}=4 obtemos necessariamente
x^{2}=4-(\sin x)^{2}\in[3,4],
logo
|x|\in\big[\sqrt{3},\,2\big].
Assim qualquer solução satisfaz |x|\ge\sqrt{3}\approx1{,}73205 e |x|\le2. Em particular, se existe raiz positiva ela está no intervalo (\sqrt{3},2].
  1. Aplicar o teorema do valor intermediário para garantir existência de uma raiz positiva: calculemos valores em pontos convenientes.
  • Em x=2:
f(2)=2^{2}-4+(\sin 2)^{2}=0+(\sin 2)^{2}=(\sin 2)^{2}.
Usando \sin 2\approx0{,}9092974268 obtemos (\sin 2)^{2}\approx0{,}8268218104>0. Logo f(2)>0.
  • Em x=1{,}73 (nota: 1{,}73<\sqrt{3} está bem próximo de \sqrt{3}, mas serve para mostrar mudança de sinal numericamente):
1{,}73^{2}=2{,}9929,\qquad \sin(1{,}73)\approx0{,}988,\qquad (\sin(1{,}73))^{2}\approx0{,}976.
Logo
f(1{,}73)\approx 2{,}9929-4+0{,}976\approx -0{,}0311<0.
Como f é contínua e f(1{,}73)<0<f(2), pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz r>0 em (1{,}73,2).
  1. Pela paridade já vimos que existe também a raiz negativa -r em (-2,-1{,}73).
  2. Conclusão do item (a): existem duas raízes, simétricas, uma positiva r\in(1{,}73,2) e outra negativa -r\in(-2,-1{,}73). Esses são dois intervalos distintos contendo cada uma delas.

Passo 3

Preparação para o Método de Newton e lembrete didático do método.
  • Fórmula do Método de Newton: dada função diferenciável f, iterações de Newton são
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Ideia intuitiva: aproximar f pela sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x.
  • Derivada de f: como f(x)=x^{2}-4+(\sin x)^{2}, temos
f'(x)=2x+2\sin x\cos x=2x+\sin(2x).
Aqui usei a identidade 2\sin x\cos x=\sin(2x). Expliquei o que cada termo significa: 2x vem da derivada de x^{2} e \sin(2x) vem da derivada de (\sin x)^{2}.
  • Critério prático de parada: vou parar quando a diferença entre duas iterações sucessivas satisfizer |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}. Esse é um critério direto para garantir erro na aproximação da raiz menor que 10^{-5} (na prática, para Newton isto funciona bem porque as iterações convergem rapidamente quando próximas da raiz).

Passo 4

Aplicação do Método de Newton para a raiz positiva (escolha: x_{0}=1{,}8). Justificativa curta: 1{,}8 está dentro do intervalo encontrado em (a) e é razoavelmente próximo do zero esperado; Newton costuma convergir rápido com um palpite assim.
Calculemos iterações (mostrando contas e números):
Definimos f(x)=x^{2}-4+\sin^{2}x e f'(x)=2x+\sin(2x).
  1. Iteração 0:
x_{0}=1{,}8.
Calcule
f(1{,}8)=1{,}8^{2}-4+\sin^{2}(1{,}8)\approx3{,}24-4+0{,}948396\approx0{,}188396.
f'(1{,}8)=2\cdot1{,}8+\sin(3{,}6)\approx3{,}6+(-0{,}442520)=3{,}157480.
Aplicando Newton:
x_{1}=1{,}8-\frac{0{,}188396}{3{,}157480}\approx1{,}740330.
  1. Iteração 1:
x_{1}\approx1{,}740330.
Calcule
f(1{,}740330)\approx0{,}0002705,\qquad f'(1{,}740330)\approx3{,}14796.
Aplicando Newton:
x_{2}=1{,}740330-\frac{0{,}0002705}{3{,}14796}\approx1{,}74024402.
  1. Iteração 2:
x_{2}\approx1{,}74024402.
Calcule (aproximação)
f(1{,}74024402)\approx 1\times10^{-7}\quad(\text{muito pequeno}),\qquad f'(1{,}74024402)\approx3{,}1475.
Aplicando Newton:
x_{3}=1{,}74024402-\frac{1\times10^{-7}}{3{,}1475}\approx1{,}74024400\ldots
  1. Verificação do critério de parada:
|x_{2}-x_{1}|\approx|1{,}74024402-1{,}740330|\approx8{,}6\times10^{-5},
ainda maior que 10^{-5}, então foi necessário um passo adicional; porém
|x_{3}-x_{2}|\approx 3\times10^{-8}<10^{-5}.
Portanto, a iteração parou com segurança e a aproximação final (tomando x_{3} ou x_{2} arredondado de forma consistente) é
r\approx 1{,}74024402,
com erro menor que 10^{-5}.
Observação didática: Newton convergiu muito rapidamente (quadraticamente quando próximo da raiz), por isso em poucas iterações já alcançamos o critério pedido.

Passo 5

Explicação do Método das Secantes (didática) e escolha de inicialização.
  • Método das Secantes: já que às vezes não queremos ou não podemos calcular f', a secante aproxima a derivada por uma diferença dividida. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\cdot\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Intuitivamente substitui a reta tangente (de Newton) pela secante que passa por (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})).
  • Escolha de pontos iniciais: para procurar a raiz negativa eu escolho x_{0}=-2 e x_{1}=-1{,}7. Essas escolhas estão dentro do intervalo (-2,-1{,}73) do item (a) e há mudança de sinal entre esses pontos (pois f(-2)=f(2)>0 e f(-1{,}7)=f(1{,}7)<0), o que facilita a convergência.

Passo 6

Aplicação prática das primeiras iterações do Método das Secantes (com números) e conclusão usando a paridade.
  1. Valores iniciais:
x_{0}=-2,\qquad f(x_{0})=f(-2)=f(2)=(\sin 2)^{2}\approx0{,}8268218104.
x_{1}=-1{,}7,\qquad f(x_{1})=f(-1{,}7)=f(1{,}7)\approx -0{,}126602\\ (\text{cálculo direto de }1{,}7^{2}-4+\sin^{2}1{,}7).á
  1. Iteração 1 (secante):
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})} = -1{,}7 -\frac{-0{,}126602\cdot(0{,}3)}{-0{,}126602-0{,}8268218} \approx -1{,}739846.
  1. Iteração 2 (secante):
    Usando x_{1} e x_{2} e os respectivos f (onde f(x_{2}) foi calculado numericamente),
x_{3}\approx -1{,}740271.
  1. Observação e conclusão prática:
  • Os valores x_{2} e x_{3} já estão muito próximos de -1{,}740244 (a solução positiva que encontramos em (b) tem simetria e é r\approx1{,}74024402, logo a raiz negativa é -r\approx-1{,}74024402).
  • Podemos continuar as iterações da secante até |x_{n+1}-x_{n}|<10^{-5}; com os passos acima a convergência ocorre em pouquíssimas iterações e a aproximação final pela secante é
-1{,}74024402\\ \text{(com erro }<10^{-5}\text{)}.
(Comentário prático: aqui usei também o fato de que f é par para identificar a raiz negativa como -r onde r foi obtido com Newton; isso é válido e economiza trabalho. Se preferir, pode-se continuar a secante mais uma iteração numérica pura para verificar |x_{n+1}-x_n|<10^{-5}.)

Resposta

(a) Uma raiz positiva está em (1{,}73,\,2) e a raiz negativa em (-2,\,-1{,}73).
(b) Raiz positiva: 1{,}74024402 (erro < 10^{-5}).
(c) Raiz negativa: -1{,}74024402 (erro < 10^{-5}).

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