Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares homogêneos:
\left\{\begin{array}{r}2 x-2 y+z=0 \\\\ 3 x-y+3 z=0 \\\\ 3 y+4 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a base e a dimensão do espaço solução do sistema homogêneo
\begin{cases} 2x - 2y + z = 0,\\\\ 3x - y + 3z = 0,\\\\ 3y + 4z = 0. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares por eliminação e determinação do núcleo (null space).

Passo 2

Da terceira equação isolamos y:
3y + 4z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{4}{3}\,z.

Passo 3

Substituindo y = -\tfrac{4}{3}z na primeira equação:
2x - 2\Bigl(-\tfrac{4}{3}z\Bigr) + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + \tfrac{8}{3}z + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + \tfrac{11}{3}z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{11}{6}\,z.

Passo 4

Agora substituímos x = -\tfrac{11}{6}z e y = -\tfrac{4}{3}z na segunda equação para checar consistência:
3\Bigl(-\tfrac{11}{6}z\Bigr) - \Bigl(-\tfrac{4}{3}z\Bigr) + 3z = -\tfrac{11}{2}z + \tfrac{4}{3}z + 3z = -\tfrac{33}{6}z + \tfrac{8}{6}z + \tfrac{18}{6}z = -\tfrac{7}{6}z \;=\;0 \;\Longrightarrow\; z=0.
Então z=0 força y=0 e x=0.

Passo 5

Concluímos que a única solução é o vetor nulo (x,y,z)=(0,0,0). Logo o espaço solução tem somente o vetor zero, sua dimensão é zero e sua base é o conjunto vazio.

Resposta

A base do espaço solução é o conjunto vazio e a dimensão vale 0.

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