Dar uma base e a dimensão do sub-espaço W de \mathbb{R}^{4} onde W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-y=\right. =y e x-3 y+t=0\}.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço W\subset\mathbb{R}^4 definido pelas duas condições lineares
x - y = y
x - 3y + t = 0
O conteúdo aqui é estudar soluções de um sistema linear homogêneo e extrair uma parametrização para obter base e dimensão.

Passo 2

Reescrevemos as equações em forma padrão. Da primeira equação,
x - y = y
temos
x - 2y = 0.
Da segunda equação,
x - 3y + t = 0.

Passo 3

Identificamos variáveis básicas e livres. São quatro incógnitas (x,y,z,t) e duas equações, logo teremos duas variáveis livres.
Escolhemos as variáveis livres y e z.
Das equações obtém-se
x = 2y,
t = -\,x + 3y = -\,2y + 3y = y.

Passo 4

Parametrizamos o vetor genérico em W. Seja s=y e u=z. Então
(x,y,z,t) = (2s,\;s,\;u,\;s) = s\,(2,1,0,1) \;+\; u\,(0,0,1,0).
Isto mostra que
W = \bigl\{\,s\,(2,1,0,1) + u\,(0,0,1,0)\mid s,u\in\mathbb{R}\bigr\}.

Resposta

Uma base de W é
\{(2,1,0,1),\;(0,0,1,0)\},
e a dimensão de W é 2.

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