Considere U=\{(x, y, z) ;-x-y+2 z=0\}, subespaço de \mathbb{R}^{3}.
Seja \operatorname{Proj}_{U} v=(a, b, c) a projeção do vetor v=(4,-10,9) sobre U.

Determine o valor de \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c} :

Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -x - y + 2z = 0\},
isto é, um plano que passa pela origem com vetor normal \mathbf{n}. Precisamos projetar o vetor \mathbf{v} = (4,-10,9) sobre U e, em seguida, calcular a soma das componentes \,a+b+c da projeção.

Passo 2

Como U é o plano com equação -x - y + 2z = 0, um vetor normal é
\mathbf{n} = (-1,\,-1,\,2).
A projeção de \mathbf{v} em U é dada por
\operatorname{Proj}_{U}\mathbf{v} \;=\;\mathbf{v}\;-\;\operatorname{Proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{v}.

Passo 3

Calculemos primeiro a projeção de \mathbf{v} sobre \mathbf{n}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = 4\cdot(-1) + (-10)\cdot(-1) + 9\cdot2 = -4 + 10 + 18 = 24,
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n} = (-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 = 6.
Logo,
\operatorname{Proj}_{\mathbf{n}}\mathbf{v} = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}}\;\mathbf{n} = \frac{24}{6}\,(-1,-1,2) = 4\,(-1,-1,2) = (-4,-4,8).

Passo 4

Agora a projeção em U é
\operatorname{Proj}_{U}\mathbf{v} = (4,-10,9)\;-\;(-4,-4,8) = (4+4,\,-10+4,\;9-8) = (8,\,-6,\;1).
Portanto a=8, b=-6 e c=1.

Resposta

a + b + c = 8 + (-6) + 1 = 3.

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