Considere as seguintes afirmações:
I. Os vetores (1,2,0),(-1,2,1) e (1,6,1) são LD
II. B=\{(2,1,1,-1)\} é base para o subespaço U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y\right. e \left.z+t=0\right\}.
III. A dimensão de W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y+z+t\right\} é igual a 2 .
São CORRETAS somente as afirmações:
a. II
b. I, II e III
c. I e III
d. I
e. II e III
f. Nenhuma das afirmações está correta
g. III
h. II e III
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre dependência linear e dimensão de subespaços em \mathbb{R}^n.
Na I testamos se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes;
na II verificamos se um único vetor gera o subespaço U\subset\mathbb{R}^4 descrito por duas condições lineares;
na III calculamos a dimensão do subespaço W\subset\mathbb{R}^4 definido por uma equação linear.
Para resolver, vamos usar cálculo de determinante para dependência e a fórmula
\dim(\mathbb{R}^n) - \text{(número de equações independentes)}
para dimensões de subespaços.
Passo 2
Para I, montamos a matriz cujas linhas são os vetores (1,2,0), (-1,2,1) e (1,6,1) e calculamos seu determinante.