Considere as seguintes afirmações:
I. Os vetores (1,2,0),(-1,2,1) e (1,6,1) são LD
II. B=\{(2,1,1,-1)\} é base para o subespaço U=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y\right. e \left.z+t=0\right\}.
III. A dimensão de W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} ; x=2 y+z+t\right\} é igual a 2 .
São CORRETAS somente as afirmações:
a. II
b. I, II e III
c. I e III
d. I
e. II e III
f. Nenhuma das afirmações está correta
g. III
h. II e III

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre dependência linear e dimensão de subespaços em \mathbb{R}^n.
Na I testamos se três vetores em \mathbb{R}^3 são linearmente dependentes;
na II verificamos se um único vetor gera o subespaço U\subset\mathbb{R}^4 descrito por duas condições lineares;
na III calculamos a dimensão do subespaço W\subset\mathbb{R}^4 definido por uma equação linear.
Para resolver, vamos usar cálculo de determinante para dependência e a fórmula
\dim(\mathbb{R}^n) - \text{(número de equações independentes)}úçõ
para dimensões de subespaços.

Passo 2

Para I, montamos a matriz cujas linhas são os vetores (1,2,0), (-1,2,1) e (1,6,1) e calculamos seu determinante.
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ -1 & 2 & 1\\\\ 1 & 6 & 1 \end{pmatrix} =1\cdot(2\cdot1-1\cdot6)\;-\;2\cdot(-1\cdot1-1\cdot1) =-4\;-\;2\cdot(-2) =-4+4=0.
Como o determinante é zero, os vetores são linearmente dependentes. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Para II, o subespaço
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4: x=2y,\;z+t=0\}
é definido por duas equações lineares independentes em \mathbb{R}^4. Portanto
\dim(U)=4-2=2.
Uma base de U precisa de dois vetores, mas B tem apenas um. Logo, II é falsa.

Passo 4

Para III, o subespaço
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4: x=2y+z+t\}
é definido por uma única equação linear em \mathbb{R}^4. Assim
\dim(W)=4-1=3.
Como dizem que \dim(W)=2, a afirmação III é falsa.

Resposta

d. I

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