Considere U=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x+y-z+2 w=0\right\}, subespaço de \backslash \operatorname{matbb} R^{4}.
Determine a dimensão de U :
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado define
U = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x + y - z + 2w = 0\}
e pede a dimensão de U. O conteúdo aqui é cálculo da dimensão de um núcleo de aplicação linear, usando o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema de posto e nulidade).

Passo 2

Definimos a aplicação linear
f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}, \qquad f(x,y,z,w)=x+y-z+2w.
Claramente U=\ker(f). Como f não é a aplicação zero, seu posto é
\operatorname{rank}(f)=1.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem temos
\dim(\ker f) = \dim(\mathbb{R}^4) - \operatorname{rank}(f) = 4 - 1 = 3.
Logo \dim(U)=3.

Resposta

\,3

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