Dados U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x+2 y-z=0\right\}, V=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x=z=0\right\} \mathrm{e} W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; y=2 x\right. e \left.z=-x\right\}. Considere as seguintes afirmações:
I. U+V=U
II. U=W^{\perp}
III V \cap W=\{0\}
São VERDADEIRAS somente as afirmações:
a. I e III
b. Nenhuma das afirmações é verdadeira
c. II e III
d. III
e. I, II e III
f. I
g. II e III
h. II

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 três subespaços: U=\{(x,y,z)\mid x+2y-z=0\} (um plano), V=\{(0,y,0)\} (o eixo y), W=\{(x,2x,-x)\} (a reta gerada por (1,2,-1)).
Precisamos checar:
  1. Se U+V=U.
  2. Se U=W^\perp.
  3. Se V\cap W=\{0\}.

Passo 2

Verificando I: U+V=U?
Para ter U+V=U basta que V\subset U.
Um vetor genérico de V é (0,y,0). Em U a condição é
x+2y-z=0,
ou seja, para (0,y,0) devemos ter 0+2y-0=0, isto é y=0.
Logo V\cap U=\{0\}, de modo que
\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)=2+1-0=3,
isto é, U+V=\mathbb{R}^3\neq U.
Portanto I é falsa.

Passo 3

Verificando II: U\overset?=W^\perp.
O subespaço W é a reta gerada por w=(1,2,-1). Então
W^\perp=\{v\in\mathbb{R}^3\mid v\cdot w=0\}.
Se v=(x,y,z), a condição v\cdot w=0
x+2y-z=0,
que é exatamente a equação que define U.
Logo U=W^\perp e II é verdadeira.

Passo 4

Verificando III: V\cap W=\{0\}?
Vetores de V têm forma (0,y,0) e de W forma (a,2a,-a).
Igualando (0,y,0)=(a,2a,-a) vem a=0, y=2a=0 e -a=0.
O único ponto em comum é o vetor nulo.
Portanto III é verdadeira.

Passo 5

Concluindo, apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

c. II e III

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