Considere $ \mathbf{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} $ para a resolução de todas as questões.
Um cilindro de raio g=10 m / s^2 e massa r rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de ângulo m, com relação à horizontal, de uma altura theta=30^circ. Calcule: (a) A aceleração do centro de massa e (b) o tempo que o cilindro leva para atingir a base do plano.

Passo 1

O enunciado pede para um cilindro de massa m e raio r rolar sem deslizar por um plano inclinado de ângulo theta=30^circ e altura h=2,5, m. A matéria envolve dinâmica de corpo rígido (rolamento sem deslizamento), usando as equações de Newton translacional e rotacional e a condição a=alpha r.

Passo 2

Desenhando o diagrama de forças: o peso mg tem componente tangencial mgsintheta descendo, uma força de atrito estático f para cima produz torque. Pelas equações de Newton para o centro de massa temos
m g sintheta - f = m a
E pelo torquelivre em torno do centro de massa:
f,r = Icm,alpha
Como não há deslize, a=alpha r.

Passo 3

Substituindo Icm=tfrac12 m r^2 e alpha=a/r no torque:
f,r = tfrac12 m r^2,(a/r) implies f = tfrac12 m a
Volta na equação translacional:
m g sintheta - tfrac12 m a = m a implies m g sintheta = tfrac32 m a implies a = gsintheta3/2 = 23gsintheta

Passo 4

Agora basta colocar g=10,m/s^2 e sin30^circ=1/2:
a = 23times 10times 12 = 103,m/s^2 approx 3,33,m/s^2

Passo 5

Para achar o tempo, primeiro determinamos o comprimento do plano inclinado s. Como a variação de altura é h=ssintheta, vem
s=hsintheta=2,51/2=5, m
Partindo do repouso e com aceleração constante, usamos
s=tfrac12 a t^2 implies t=raiz2sa=raiz2cdot510/3=raiz3, s approx1,73, s

Resposta

A aceleração do centro de massa é a=10/3,m/s^2 e o tempo até a base do plano é t=raiz3, s (aprox. 1,73 s).

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