Considere 10 tentativas independentes de um experimento. Cada tentativa admite sucesso com probabilidade 0,05 . Seja X : o número de sucessos.
b) Considere 100 tentativas independentes. Calcular \mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 2) [0,124652]

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de obter até 2 sucessos em 100 tentativas independentes, cada uma com probabilidade de sucesso p=0,05. O conteúdo é distribuição binomial e sua aproximação por Poisson quando n é grande e p é pequeno. Vamos precisar da fórmula da binomial e do fato de que, se n é grande e p pequeno, a binomial \mathrm{Bin}(n,p) pode ser aproximada por uma Poisson de parâmetro \lambda = np.

Passo 2

Definimos X\sim \mathrm{Bin}(n=100,p=0,05). Então
P(X\le2)=\sum_{k=0}^{2}\binom{100}{k}(0,05)^{k}(0,95)^{100-k}.
Calcular esse somatório exato é trabalhoso à mão.

Passo 3

Como n=100 é grande e p=0,05 é pequeno, podemos usar a aproximação de Poisson com parâmetro
\lambda = np = 100\times 0,05 = 5.
Assim, aproximamos X\approx Y onde Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda=5).

Passo 4

Para Y\sim\mathrm{Poisson}(5) temos
P(Y=k)=e^{-5}\frac{5^{k}}{k!}.
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P(Y\le2) = \sum_{k=0}^{2} e^{-5}\frac{5^{k}}{k!} = e^{-5}\Bigl(\frac{5^{0}}{0!} + \frac{5^{1}}{1!} + \frac{5^{2}}{2!}\Bigr) = e^{-5}\bigl(1 + 5 + 12{,}5\bigr) = 18{,}5\,e^{-5}.

Passo 5

Bastade calcular numericamente e^{-5}\approx 0{,}006737947:
P(Y\le2)\approx 18{,}5\times 0{,}006737947 \approx 0{,}124652.

Resposta

P(X\le2)\approx 0,124652

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