Exercício 7 A Testosterona é uma droga que tem sido ministrada a atletas com a intenção de aumentar a massa muscular. Um estudo foi conduzido com 22 atletas, onde 11 receberam uma determinada dose da droga, durante um período de seis semanas, e os outros 11 receberam um placebo. Ao final desse período foi medida a largura do músculo (em mm, determinados por raio-X). Encontre o intervalo de confiança de 95% para a média de cada uma das amostras.
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Placebo 3,7 5,2 4,0 4,7 4,3 3,9 4,2 4,9 5,1 4,1 4,0
Droga 13,1 16,5 15,3 15,7 14,1 15,0 15,5 16,1 15,8 14,3 15,2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de confiança de 95 % para a média da largura muscular em duas amostras independentes (placebo e droga), cada uma com n=11. Como a amostra é pequena e o desvio padrão populacional é desconhecido, vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student com n-1=10 graus de liberdade. O procedimento é:
  1. Calcular a média amostral \bar x e o desvio-padrão amostral s.
  2. Encontrar o valor crítico t_{0,975;10}.
  3. Calcular o erro-padrão \mathrm{SE}=s/\sqrt{n} e a margem de erro E=t_{0,975;10}\times \mathrm{SE}.
  4. Montar o intervalo \bar x\pm E.

Passo 2

Placebo: dados x_i\in\{3,7;5,2;4,0;4,7;4,3;3,9;4,2;4,9;5,1;4,1;4,0\}.
Soma \sum x_i=48,1, logo
\bar x_1=\frac{48,1}{11}\approx4,373.
Somatório de quadrados \sum x_i^2=212,99, então
s_1^2=\frac{\sum x_i^2 - n\,\bar x_1^2}{n-1} =\frac{212,99 - 11\cdot(4,373)^2}{10}\approx0,269, \quad s_1\approx0,518.

Passo 3

Valor crítico t_{0,975;10}\approx2,228.
Erro-padrão
\mathrm{SE}_1=\frac{s_1}{\sqrt{11}}\approx\frac{0,518}{3,316}\approx0,156.
Margem de erro
E_1=2,228\times0,156\approx0,348.
Intervalo de confiança
IC_{95\%}^{\text{placebo}}=\bigl[\,4,373 - 0,348;\;4,373 + 0,348\,\bigr] \approx[4,025;\;4,721].

Passo 4

Droga: dados x_i\in\{13,1;16,5;15,3;15,7;14,1;15,0;15,5;16,1;15,8;14,3;15,2\}.
Soma \sum x_i=166,6, logo
\bar x_2=\frac{166,6}{11}\approx15,146.
Somatório de quadrados \sum x_i^2=2532,88, então
s_2^2=\frac{2532,88 - 11\cdot(15,146)^2}{10}\approx0,981, \quad s_2\approx0,990.

Passo 5

Erro-padrão
\mathrm{SE}_2=\frac{s_2}{\sqrt{11}}\approx\frac{0,990}{3,316}\approx0,299.
Margem de erro
E_2=2,228\times0,299\approx0,665.
Intervalo de confiança
IC_{95\%}^{\text{droga}}=\bigl[\,15,146 - 0,665;\;15,146 + 0,665\,\bigr] \approx[14,481;\;15,811].

Resposta

IC de 95 % para placebo: [4,025; 4,721]
IC de 95 % para droga: [14,481; 15,811]

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