1. Uma V.A.C. X com f.d.p: f(x)=\left\{\begin{array}{c}k, \quad 0 \leq x \leq 2 \\\ k(x-1), 2<x \leq 4 \\\\ 0, \text { p.o.v }\end{array}\right.
    a)Determine o valor de k e calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}), \mathrm{V}(\mathrm{X}) e desvio padrão para a variável X .

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória contínua X\) com densidade de probabilidade \[f(x)=\begin{cases} k, & 0 \le x \le 2,\\\ k\,(x-1), & 2 < x \le 4,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
e pede o valor de k\] (normalização), a esperança \(\mathrm{E}(X), a variância \mathrm{V}(X) e o desvio-padrão. Para isso vamos usar:
1. Condição de normalização \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.
2. Fórmulas
\mathrm{E}(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx, \quad \mathrm{E}(X^2)=\int_{-\infty}^{\infty} x^2\,f(x)\,dx, \quad \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^2)-[\mathrm{E}(X)]^2,
e \sigma=\sqrt{\mathrm{V}(X)}.

Passo 2

Aplicando a normalização:
\int_{0}^{2}k\,dx+\int_{2}^{4}k\,(x-1)\,dx=1.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{2}k\,dx=2k,
\int_{2}^{4}k\,(x-1)\,dx = k\int_{2}^{4}(x-1)\,dx = k\left[\frac{(x-1)^2}{2}\right]_{2}^{4} = k\;\frac{9-1}{2} =4k.
Logo
2k+4k=1 \quad\Longrightarrow\quad 6k=1 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{6}.

Passo 3

Agora \mathrm{E}(X)=\int_{0}^{2}x\,k\,dx+\int_{2}^{4}x\,k\,(x-1)\,dx. Substituindo k=1/6:
\int_{0}^{2}x\,k\,dx = \frac{1}{6}\int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{2^2}{2} = \frac{1}{6}\cdot2 = \frac{1}{3},
\int_{2}^{4}x\,k\,(x-1)\,dx = \frac{1}{6}\int_{2}^{4}(x^2-x)\,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{2}^{4} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{64}{3}-8 - \frac{8}{3}+2\Bigr) = \frac{1}{6}\cdot\frac{38}{3} = \frac{19}{9}.
Somando,
\mathrm{E}(X)=\frac{1}{3}+\frac{19}{9}=\frac{3+19}{9}=\frac{22}{9}\approx2,444.

Passo 4

Para a variância precisamos de \mathrm{E}(X^2):
\mathrm{E}(X^2) =\int_{0}^{2}x^2\,k\,dx+\int_{2}^{4}x^2\,k\,(x-1)\,dx.
Calculemos:
\int_{0}^{2}x^2\,k\,dx = \frac{1}{6}\int_{0}^{2}x^2\,dx = \frac{1}{6}\cdot\frac{2^3}{3} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9},
\int_{2}^{4}x^2\,k\,(x-1)\,dx = \frac{1}{6}\int_{2}^{4}(x^3-x^2)\,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}\Bigr]_{2}^{4} = \frac{1}{6}\Bigl(64- \tfrac{64}{3} -4 + \tfrac{8}{3}\Bigr) = \frac{1}{6}\cdot\frac{124}{3} = \frac{62}{9}.
Logo
\mathrm{E}(X^2)=\frac{4}{9}+\frac{62}{9}=\frac{66}{9}=\frac{22}{3}.
E a variância
\mathrm{V}(X) =\mathrm{E}(X^2)-[\mathrm{E}(X)]^2 =\frac{22}{3}-\Bigl(\frac{22}{9}\Bigr)^2 =\frac{22}{3}-\frac{484}{81} =\frac{594-484}{81} =\frac{110}{81}\approx1,358.

Passo 5

O desvio-padrão é
\sigma =\sqrt{\mathrm{V}(X)} =\sqrt{\frac{110}{81}} =\frac{\sqrt{110}}{9}\approx1,165.

Resposta

k = \displaystyle \frac{1}{6} \mathrm{E}(X)=\displaystyle \frac{22}{9}\approx2,444 \mathrm{V}(X)=\displaystyle \frac{110}{81}\approx1,358 \sigma=\displaystyle \frac{\sqrt{110}}{9}\approx1,165

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