Considere
. Quanto vale
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = (4x^2 + 6y^2) \ln(3xy) $ em relação a $ x $. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente trata uma variável como constante enquanto deriva em relação à outra. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, identifique que temos um produto de duas funções: $ u(x, y) = 4x^2 + 6y^2 $ e $ v(x, y) = \ln(3xy) $. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ vai usar a regra do produto, que diz que $ \frac{\partial f}{\partial x} = u_x \cdot v + u \cdot v_x $, onde $ u_x $ é a derivada de $ u $ em relação a $ x $ e $ v_x $ é a derivada de $ v $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos calcular $ u_x $. Como $ u(x, y) = 4x^2 + 6y^2 $, derivando em relação a $ x $ temos:
Aqui, $ 6y^2 $ é tratado como constante, então sua derivada em relação a $ x $ é zero.
Passo 4
Agora, vamos para $ v_x $. Sabemos que $ v(x, y) = \ln(3xy) $. Usando a regra da cadeia, a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então:
Simplificando, chegamos a $ \frac{1}{x} $.
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar o segundo termo:
Passo 6
Juntando tudo:
Podemos reescrever para deixar mais claro:
Resposta
A derivada parcial é:
Portanto, a opção correta é a c.