Considere f(x, y)=(4 x^2+6 y^2) ln (3 x y). Quanto vale partial fpartial x(x, y)?
Escolha uma opção:
a. 12 x ln (3 x y)
b. x^2+y^2x+8 x ln (3 x y)
c. 4 x^2+6 y^2x+8 x ln (3 x y)
d. 4 x^2+6 y^2x+4 x ln (3 x y)
e. 4 x^2+6 y^23 x y+ln (3 x y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada parcial de $ f(x, y) = (4x^2 + 6y^2) \ln(3xy) $ em relação a $ x $. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo de derivadas parciais, onde a gente trata uma variável como constante enquanto deriva em relação à outra. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identifique que temos um produto de duas funções: $ u(x, y) = 4x^2 + 6y^2 $ e $ v(x, y) = \ln(3xy) $. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ vai usar a regra do produto, que diz que $ \frac{\partial f}{\partial x} = u_x \cdot v + u \cdot v_x $, onde $ u_x $ é a derivada de $ u $ em relação a $ x $ e $ v_x $ é a derivada de $ v $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos calcular $ u_x $. Como $ u(x, y) = 4x^2 + 6y^2 $, derivando em relação a $ x $ temos:
ux
Aqui, $ 6y^2 $ é tratado como constante, então sua derivada em relação a $ x $ é zero.

Passo 4

Agora, vamos para $ v_x $. Sabemos que $ v(x, y) = \ln(3xy) $. Usando a regra da cadeia, a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{u’}{u} $. Então:
vx
Simplificando, chegamos a $ \frac{1}{x} $.

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = ux cdot v + u cdot vx = 8x cdot ln(3xy) + (4x^2 + 6y^2) cdot 1x
Vamos simplificar o segundo termo:
(4x^2 + 6y^2) cdot 1x = 4x^2x + 6y^2x = 4x + 6y^2x

Passo 6

Juntando tudo:
partial fpartial x = 8x ln(3xy) + 4x + 6y^2x
Podemos reescrever para deixar mais claro:
partial fpartial x = 4x^2 + 6y^2x + 8x ln(3xy)

Resposta

A derivada parcial é:
partial fpartial x(x, y) = 4x^2+6y^2x + 8x ln(3xy)
Portanto, a opção correta é a c.

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