Considere f(x, y)=(4 x^2+6 y^2) ln (3 x y). Quanto vale partial fpartial x(x, y)?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de $ f(x, y) = (4x^{2} + 6y^{2}) \ln(3xy) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que envolvem $ x $. Temos dois fatores multiplicados: $ u(x, y) = 4x^{2} + 6y^{2} $ e $ v(x, y) = \ln(3xy) $. Como estamos derivando em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para derivadas: se $ f = u \cdot v $, então $ \frac{\partial f}{\partial x} = u \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $.

Passo 4

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial x
(Lembrando que a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é zero, já que $ y $ é tratado como constante.)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
partial vpartial x
A derivada de $ \ln(z) $ em relação a $ z $ é $ \frac{1}{z} $, então aplicamos a regra da cadeia:
v = ln(3xy)

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas na regra do produto:
partial fpartial x = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x = (4x^2 + 6y^2) cdot 1x + ln(3xy) cdot 8x

Passo 7

Simplificamos a expressão:
partial fpartial x = 4x^2x + 6y^2x + 8x ln(3xy) = 4x + 6y^2x + 8x ln(3xy)

Resposta

A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f

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