Considere
. Quanto vale
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada parcial de $ f(x, y) = (4x^{2} + 6y^{2}) \ln(3xy) $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que envolvem $ x $. Temos dois fatores multiplicados: $ u(x, y) = 4x^{2} + 6y^{2} $ e $ v(x, y) = \ln(3xy) $. Como estamos derivando em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto para derivadas: se $ f = u \cdot v $, então $ \frac{\partial f}{\partial x} = u \cdot \frac{\partial v}{\partial x} + v \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $.
Passo 4
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
(Lembrando que a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é zero, já que $ y $ é tratado como constante.)
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
A derivada de $ \ln(z) $ em relação a $ z $ é $ \frac{1}{z} $, então aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas na regra do produto:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é: