Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
f(x)=1-x, 0 serie de cossenos, período 2 .

Passo 1

A questão pede a expansão em série de cossenos (meio-intervalo par) de período 2 para a função f(x)=1−x definida em 0<x<1. Vamos usar a fórmula de série de Fourier em cossenos num intervalo [0,1], estendendo f de forma par em (−1,1) e depois periodizando com período 2.

Passo 2

Para período 2 e expansão em cossenos, os coeficientes são dados por
a0=2integral0^1f(x),dx,
an=2integral0^1f(x)cos(npi x),dx(n>=1)

Passo 3

Calculemos a_0:
a0=2integral0^1(1−x),dx=2l[x−x^22r]0^1=2l(1−tfrac12r)=1
Assim o termo constante na série é a_0/2=1/2.

Passo 4

Agora o coeficiente a_n para n≥1:
an=2integral0^1(1−x)cos(npi x),dx
Separe em duas integrais e note que
integral0^1cos(npi x),dx=0
e
integral0^1xcos(npi x),dx=(-1)^n−1n^2pi^2
Logo
integral0^1(1−x)cos(npi x),dx=;0-(-1)^n−1n^2pi^2=1-(-1)^nn^2pi^2
Portanto
an=21-(-1)^nn^2pi^2

Passo 5

Como 1−(−1)^n é 0 para n par e 2 para n ímpar, segue

Passo 6

Juntando tudo, a série de cossenos fica:
f(x)=12+summ=0^infty4(2m+1)^2pi^2cosl((2m+1)pi xr)

Resposta

f(x)=12+summ=0^infty4(2m+1)^2pi^2cosl((2m+1)pi xr),0í

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