Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
serie de cossenos, período 2 .
Passo 1
A questão pede a expansão em série de cossenos (meio-intervalo par) de período 2 para a função f(x)=1−x definida em 0<x<1. Vamos usar a fórmula de série de Fourier em cossenos num intervalo [0,1], estendendo f de forma par em (−1,1) e depois periodizando com período 2.
Passo 2
Para período 2 e expansão em cossenos, os coeficientes são dados por
Passo 3
Calculemos a_0:
Assim o termo constante na série é a_0/2=1/2.
Passo 4
Agora o coeficiente a_n para n≥1:
Separe em duas integrais e note que
e
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Portanto
Passo 5
Como 1−(−1)^n é 0 para n par e 2 para n ímpar, segue
Passo 6
Juntando tudo, a série de cossenos fica: