Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
f(x)=1-x, 0, serie de senos, período 2 .

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Fourier em série de senos, com período 2, para a função f(x)=1–x em 0<x<1. Vamos usar a extensão ímpar de f em (–1,1) e o fato de que a série de senos num intervalo [0,L] tem coeficientes b_n dados por b_n= (2/L)∫_0^L f(x) sin(nπx/L) dx. Aqui L=1.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, escrevemos
$$b_n=2\int_{0}^{1}(1-x),\sin(n\pi x),dx.
bn=2integral0^1(1-x),sin(npi x),dx I_1=\int_{0}^{1}\sin(n\pi x),dx,\quad I_2=\int_{0}^{1}x,\sin(n\pi x),dx.$$

Passo 3

Calculamos I_1 por antiderivação direta:
$$I_1=\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_01=\frac{1-(-1)n}{n\pi}.
$$

Passo 4

Para I_2 fazemos integração por partes com u=x, dv=\sin(n\pi x)dx:
$$I_2=-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_01+\frac{1}{n\pi}\int_{0}{1}\cos(n\pi x),dx=-\frac{(-1)n}{n\pi}+0=\frac{(-1){n+1}}{n\pi}.
$$

Passo 5

Então
$$b_n=2\Bigl(\frac{1-(-1)n}{n\pi}-\frac{(-1){n+1}}{n\pi}\Bigr)=\frac{2}{n\pi},.
$$
Logo a série de Fourier pedida é:

Resposta

1 - x=sumn=1^infty2npi,sinl(npi xr), 0í

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