Encontre a série de Fourier indicada para a função dada.
, serie de senos, período 2 .
Passo 1
O enunciado pede a expansão de Fourier em série de senos, com período 2, para a função f(x)=1–x em 0<x<1. Vamos usar a extensão ímpar de f em (–1,1) e o fato de que a série de senos num intervalo [0,L] tem coeficientes b_n dados por b_n= (2/L)∫_0^L f(x) sin(nπx/L) dx. Aqui L=1.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, escrevemos
$$b_n=2\int_{0}^{1}(1-x),\sin(n\pi x),dx.
Passo 3
Calculamos I_1 por antiderivação direta:
$$I_1=\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_01=\frac{1-(-1)n}{n\pi}.
$$
Passo 4
Para I_2 fazemos integração por partes com u=x, dv=\sin(n\pi x)dx:
$$I_2=-\frac{x\cos(n\pi x)}{n\pi}\Big|_01+\frac{1}{n\pi}\int_{0}{1}\cos(n\pi x),dx=-\frac{(-1)n}{n\pi}+0=\frac{(-1){n+1}}{n\pi}.
$$
Passo 5
Então
$$b_n=2\Bigl(\frac{1-(-1)n}{n\pi}-\frac{(-1){n+1}}{n\pi}\Bigr)=\frac{2}{n\pi},.
$$
Logo a série de Fourier pedida é:
Logo a série de Fourier pedida é: