(b) Em virtude do exercício (12), podemos dizer se f é ou não diferenciável em ?
Passo 1
O enunciado define a função
Na parte (a) a gente precisa mostrar que ela é homogênea de grau 1, isto é
f(tx,ty)=t,f(x,y), forall tin R,forall(x,y)in R^2
Na parte (b) queremos usar o fato (do exercício 12) de que uma função homogênea de grau 1, se diferenciável em (0,0), teria que ser um mapa linear. Vamos ver se isso bate com o nosso f.
No caso (x,y)=(0,0) temos f(0,0)=0 e também f(tcdot0,tcdot0)=0, logo a igualdade vale trivialmente.
Passo 3
Para ver se f é diferenciável em (0,0), calculamos as derivadas direcionais. Dado um vetor v=(v1,v2)neq(0,0), definimos
Dvf(0,0)=limhto0f(hv)-f(0)h=limhto0f(hv)h
Mas pela homogeneidade de grau 1,
f(hv)=h,f(v),
então
Dvf(0,0)=limhto0h,f(v)h=f(v)
Ou seja, todas as derivadas direcionais existem e são dadas por vmapsto f(v)=v1^3/(v1^2+v2^2).
Passo 4
Se f fosse diferenciável em (0,0), o mapeamento vmapsto Dvf(0,0) teria que ser uma aplicação linear de v. Mas v1^3/(v1^2+v2^2) não é linear (por exemplo, não satisfaz aditividade). Pelo exercício (12), isso contradiz a hipótese de diferenciabilidade. Portanto, f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
Não; f não é diferenciável em (0,0). Você mostra isso vendo que as derivadas direcionais existem mas não se organizam num mapa linear, portanto não há diferencial total.