Considere
f(x, y)=l x^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, caso contrário á
(a) Mostre que
f(t x, t y)=t f(x, y), forall t in R, forall(x, y) in R^2
(b) Em virtude do exercício (12), podemos dizer se f é ou não diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=dfracx^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Na parte (a) a gente precisa mostrar que ela é homogênea de grau 1, isto é
f(tx,ty)=t,f(x,y), forall tin R,forall(x,y)in R^2
Na parte (b) queremos usar o fato (do exercício 12) de que uma função homogênea de grau 1, se diferenciável em (0,0), teria que ser um mapa linear. Vamos ver se isso bate com o nosso f.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) basta calcular:
f(tx,ty)=(t x)^3(t x)^2+(t y)^2= ract^3x^3t^2(x^2+y^2)=tx^3x^2+y^2=t,f(x,y)
No caso (x,y)=(0,0) temos f(0,0)=0 e também f(tcdot0,tcdot0)=0, logo a igualdade vale trivialmente.

Passo 3

Para ver se f é diferenciável em (0,0), calculamos as derivadas direcionais. Dado um vetor v=(v1,v2)neq(0,0), definimos
Dvf(0,0)=limhto0f(hv)-f(0)h=limhto0f(hv)h
Mas pela homogeneidade de grau 1,
f(hv)=h,f(v),
então
Dvf(0,0)=limhto0h,f(v)h=f(v)
Ou seja, todas as derivadas direcionais existem e são dadas por vmapsto f(v)=v1^3/(v1^2+v2^2).

Passo 4

Se f fosse diferenciável em (0,0), o mapeamento vmapsto Dvf(0,0) teria que ser uma aplicação linear de v. Mas v1^3/(v1^2+v2^2) não é linear (por exemplo, não satisfaz aditividade). Pelo exercício (12), isso contradiz a hipótese de diferenciabilidade. Portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não; f não é diferenciável em (0,0). Você mostra isso vendo que as derivadas direcionais existem mas não se organizam num mapa linear, portanto não há diferencial total.

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