Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral ln (1-x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral usando integração por partes. Vamos precisar aplicar a fórmula de partes e depois verificar o resultado derivando a antiderivada.

Passo 2

Usamos a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
e escolhemos
u = ln(1-x) e dv = dx. Essa escolha facilita pois ln(1-x) tem derivada simples e dx é simples de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
Como u = ln(1-x),
du = ddxln(1-x),dx = -11-x,dx,
e como dv = dx,
v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de partes com esses valores, obtemos
integral ln(1-x),dx = xln(1-x) - integral xl(-11-xr)dx = xln(1-x) + integral x1-x,dx

Passo 5

Para resolver integral x1-x,dx, fazemos a decomposição da fração:
x1-x = -1 + 11-x
Assim,
integral x1-xdx = integral (-1)dx + integral 11-xdx = -x - lnl(1-xr) + C1

Passo 6

Substituindo de volta na expressão inicial,
integral ln(1-x),dx = xln(1-x) + l(-x - ln(1-x)r) + C = (x-1)ln(1-x) - x + C

Passo 7

Para verificar, derivamos (x-1)ln(1-x) - x: ao usar a regra do produto e a derivada de ln(1-x), chega-se a ln(1-x). Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

(x-1)ln(1-x) - x + C

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