Verifique se f(x, y)=|x| y é contínua.

Passo 1

Vamos verificar se a função f(x,y)=|x|·y é contínua em R² usando propriedades de continuidade de funções compostas e de operações algébricas.

Passo 2

Primeiro, observe que a projeção π₁: R²→R dada por π₁(x,y)=x e a projeção π₂: R²→R dada por π₂(x,y)=y são funções contínuas, pois levantam diretamente as coordenadas.

Passo 3

Em seguida, a função valor absoluto α: R→R, α(t)=|t|, é contínua em todo R. Logo, a composição g=α∘π₁: R²→R dada por g(x,y)=|x| é contínua como composição de funções contínuas.

Passo 4

Considere agora m: R×R→R definida por m(u,v)=u·v. Sabemos que a multiplicação em R é uma operação contínua. Portanto, m é contínua.

Passo 5

Finalmente, f pode ser escrita como f(x,y)=m(g(x,y),π₂(x,y)). Sendo g, π₂ e m contínuas, a composição f é contínua em R².

Passo 6

Como não houve restrição de ponto, concluímos que f é contínua em todo R².

Resposta

f(x,y)=|x|·y é contínua em ℝ².

Exercícios relacionados