Definimos a função escalar . Como é soma de produtos das funções reais e , aplicamos a regra do produto em cada termo. Logo,
Passo 3
Para (b) consideramos o escalar . Pelo item (a),
Isso gera a desigualdade diferencial . Integrando de a segue
Como , temos .
Passo 4
No item (c1) usamos a definição componente a componente. Se e cada , então pelo Teorema Fundamental da Calculus em :
Passo 5
Logo, em vetor,
Passo 6
Para (c2) apresentamos outra prova de (b) usando integral e Cauchy–Schwarz:
Passo 7
logo
Passo 8
Em (c3) exigimos fin C^1 para garantir que cada derivada fi' é contínua (e assim integrável) de modo a aplicar o Teorema Fundamental da Calculus em cada componente.
Resposta
(a) dfracddtlang<= f,grang<=(t)=lang<= f'(t),g(t)rang<=+lang<= f(t),g'(t)rang<=.
(b) |f(b)-f(a)|<= M(b-a).
(c1) integrala^b f'(t),dt=f(b)-f(a).
(c2) Prova alternativa de (b) via representação integral e desigualdade de Cauchy–Schwarz: |integrala^b f'(t),dt|<=integrala^b|f'(t)|,dt<= M(b-a).
(c3) Precisamos de fin C^1 para que f' seja contínua e integrável, permitindo aplicar o Teorema Fundamental da Calculus.