DESAFIOS

Um caminho diferenciável em R^n é uma função diferenciável f: I subset R R^n, sendo I um intrevalo.
(a) Mostre que se g: I subset R R^n é outro caminho diferenciável, então
dd tlang<= f, grang<=(t0)=lang<= f^prime(t0), g(t0)rang<=+lang<= f(t0), g^prime(t0)rang<=
(b) Se |f(b)-f(a)| <= M(b-a), então integrala^b f(t) d t.
© Defina integrala^b f(t) d t=(integrala^b f1(t), ldots, integrala^b fn(t)) pondo
f
Supondo C^1 de classe integrala^b f^prime(t) d t=f(b)-f(a), msotre que:
(c1) f;
(c2) Obtenha outra demonstração para o item (b).
(c3) Por qual motivo estamos supondo C^1 de classe no item (c1)?:

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com caminhos diferenciáveis em R^n: em (a) provar a regra do produto para o escalar, em (b) mostrar que se |f'(t)|<= M então |f(b)-f(a)|<= M(b-a), e em © usar a definição de integral vetorial para dar o teorema fundamental e uma prova alternativa de (b), além de justificar a hipótese C^1.

Passo 2

Definimos a função escalar varphi(t)=lang<= f(t),g(t)rang<=. Como varphi é soma de produtos das funções reais fi(t) e gi(t), aplicamos a regra do produto em cada termo. Logo,
varphi'(t)=sumi=1^nl(fi'(t)gi(t)+fi(t)gi'(t)r)=lang<= f'(t),g(t)rang<=+lang<= f(t),g'(t)rang<=

Passo 3

Para (b) consideramos o escalar h(t)=|f(t)-f(a)|^2=lang<= f(t)-f(a),,f(t)-f(a)rang<=. Pelo item (a),
h'(t)=2lang<= f'(t),f(t)-f(a)rang<=<=2|f'(t)|,|f(t)-f(a)|<=2Mraizh(t)
Isso gera a desigualdade diferencial h'(t)/(2raizh(t))<= M. Integrando de a a b segue
raizh(b)-raizh(a)<= M(b-a)
Como h(a)=0, temos |f(b)-f(a)|=raizh(b)<= M(b-a).

Passo 4

No item (c1) usamos a definição componente a componente. Se f=(f1,dots,fn) e cada fiin C^1, então pelo Teorema Fundamental da Calculus em R:
integrala^b fi'(t),dt=fi(b)-fi(a)

Passo 5

Logo, em vetor,
integrala^b f'(t),dt=l(f1(b)-f1(a),dots,fn(b)-fn(a)r)=f(b)-f(a)

Passo 6

Para (c2) apresentamos outra prova de (b) usando integral e Cauchy–Schwarz:
f(b)-f(a)=integrala^b f'(t),dt,

Passo 7

logo
|f(b)-f(a)|=l|integrala^b f'(t),dtr|<=integrala^b|f'(t)|,dt<=integrala^b M,dt=M(b-a)

Passo 8

Em (c3) exigimos fin C^1 para garantir que cada derivada fi' é contínua (e assim integrável) de modo a aplicar o Teorema Fundamental da Calculus em cada componente.

Resposta

(a) dfracddtlang<= f,grang<=(t)=lang<= f'(t),g(t)rang<=+lang<= f(t),g'(t)rang<=.
(b) |f(b)-f(a)|<= M(b-a).
(c1) integrala^b f'(t),dt=f(b)-f(a).
(c2) Prova alternativa de (b) via representação integral e desigualdade de Cauchy–Schwarz: |integrala^b f'(t),dt|<=integrala^b|f'(t)|,dt<= M(b-a).
(c3) Precisamos de fin C^1 para que f' seja contínua e integrável, permitindo aplicar o Teorema Fundamental da Calculus.

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