Use a técnica de integração por partes para resolver as integrais abaixo. Derive para verificar a solução.
integral ln x d x

Passo 1

Temos a integral integral ln x,dx. O conteúdo aqui é integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos precisar escolher funções u e dv, calcular du e v e depois derivar a resposta para verificar.

Passo 2

Escolhendo as partes, tomamos
u = ln x, dv = dx
A ideia é diferenciar ln x (pois simplifica) e integrar dx (que é trivial).

Passo 3

Calculamos agora
du = d(ln x) = 1x,dx, v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x,dx = u,v - integral v,du = xln x - integral xcdot1x,dx

Passo 5

A integral restante é simples:
integral xcdot1x,dx = integral 1,dx = x + C1
Logo,
integral ln x,dx = xln x - x + C

Passo 6

Para verificar, derivamos F(x)=xln x - x + C:
F'(x) = 1cdotln x + xcdot1x - 1 = ln x + 1 - 1 = ln x
Isso bate com o integrando, então está correto.

Resposta

xln x - x + C

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