Considere T: R^3 R^3. Ache a lei de T quando
T tem autovalores lambda=0,-1 e 3 e V-1=lang<=(1,0,0)rang<= e V0=lang<=(0,1,0)rang<= e V3=lang<=(1,0,1)rang<=;

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;T:R^3toR^3
com autovalores lambda=-1,0,3 cujos espaços próprios são
;V-1=lang<=(1,0,0)rang<=,
;V0=lang<=(0,1,0)rang<= e
;V3=lang<=(1,0,1)rang<=.
Queremos encontrar a lei de T em coordenadas canônicas, ou seja, uma fórmula para
;T(x,y,z).

Passo 2

Verificamos que os vetores
;v1=(1,0,0), ;v2=(0,1,0) e ;v3=(1,0,1)
são linearmente independentes, pois a matriz com essas colunas tem determinante
det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 =1neq 0
Logo, v1,v2,v3 é base de R^3.

Passo 3

Em função dos autovalores, temos
T(v1)=-1cdot v1=(-1,0,0),
T(v2)=0cdot v2=(0,0,0),
T(v3)=3cdot v3=(3,0,3)

Passo 4

Para achar T na base canônica e1,e2,e3, calculamos T(ei).
Já sabemos
e1=v1, e2=v2
Falta e3=(0,0,1). Escrevemos em combinação de v1,v2,v3:
(0,0,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(1,0,1)=(a+c,;b,;c)
Das coordenadas segue
a+c=0, b=0, c=1
logo a=-1, b=0, c=1 e
e3=-,v1+v3
Aplicando T,
T(e3)=-,T(v1)+T(v3)=-(-1,0,0)+(3,0,3)=(1,0,0)+(3,0,3)=(4,0,3)

Passo 5

Agora temos em coordenadas canônicas:
T(e1)=(-1,0,0), T(e2)=(0,0,0), T(e3)=(4,0,3)
A matriz de T é
-1 & 0 & 4 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 ,
logo para um vetor (x,y,z) temos
T(x,y,z) =(x,y,z) -1 & 0 & 4 0 & 0 & 0 0 & 0 & 3 =(-x+4z,;0,;3z)

Resposta

T(x,y,z)=(-x+4z,;0,;3z)

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