Considere T: R^2 R^2 com autovalores lambda=-1 e lambda=2. Ache a lei de T quando
V-1=lang<=(-1,1)rang<= e V2=lang<=(1,0)rang<=.
Em cada caso (a) e (b) acima, explicite uma base que diagonaliza T e escreva a matriz de T nesta base.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um operador linear
T: R^2to R^2
com autovalores lambda=-1 e lambda=2. As respectivas autoespaços são
V-1=lang<=(-1,1)rang<=, V2=lang<=(1,0)rang<=
Queremos (i) uma base que diagonalize T e (ii) a matriz de T nessa base, e (iii) obter a lei explicita de T em relação à base canônica.

Passo 2

Escolhemos como base de vetores próprios
v1=(-1,1)(autovalor -1), v2=(1,0)(autovalor 2)
Como v1 e v2 são linearmente independentes,
B=v1,v2
é uma base de R^2 que diagonaliza T.

Passo 3

Em B, T age simplesmente escalando cada vetor próprio pelo seu autovalor. Portanto a matriz de T na base B é
[T]B = -1 & 0 0 & 2

Passo 4

Para achar a lei de T na base canônica, escrevemos um vetor genérico (x,y) como combinação de v1 e v2:
(x,y)=alpha(-1,1)+beta(1,0)
Isso dá
alpha=y, beta=x+y
Como
T(x,y)=-1cdotalpha,v1+2cdotbeta,v2,
segue
T(x,y) = -y(-1,1) + 2(x+y)(1,0) = l(y+2(x+y),,-yr) = l(2x+3y,,-yr)

Resposta

Base que diagonaliza T:
B=,(-1,1),;(1,0)
Matriz de T nessa base:
[T]B = -1 & 0 0 & 2
Lei de T na base canônica:
T(x,y) = (2x+3y,,-y)

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