Considere com autovalores e . Ache a lei de quando e .
Em cada caso (a) e (b) acima, explicite uma base que diagonaliza e escreva a matriz de nesta base.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um operador linear
com autovalores e . As respectivas autoespaços são
Queremos (i) uma base que diagonalize e (ii) a matriz de nessa base, e (iii) obter a lei explicita de em relação à base canônica.
Passo 2
Escolhemos como base de vetores próprios
Como e são linearmente independentes,
é uma base de que diagonaliza .
Passo 3
Em , age simplesmente escalando cada vetor próprio pelo seu autovalor. Portanto a matriz de na base é
Passo 4
Para achar a lei de T na base canônica, escrevemos um vetor genérico (x,y) como combinação de v1 e v2: